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AMC 10/12
几何 · 第 37 章

复杂图形的面积与长度

奇怪的图形没有公式？那就自己拼一个：加上认识的部分，减去不认识的部分，延长线段、作高，直到每个面积和长度都变成几块简单部分之和。

这一章讲什么？
你需要先会
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37.10%

复杂图形的面积

在本节中，你将能够 把奇怪的图形拆成可以计算的部分（三角形、长方形、扇形和弓形），通过加加减减求出它的面积。

奇怪的图形没有公式？那就把它拼出来。加上认识的部分，减去不要的部分。

用到的部分总是那几种：三角形、长方形、扇形，以及弦和弧之间的弓形（扇形减去三角形）。

找找可以延长的线，或者可以作的高。每一条都可能把乱糟糟的区域变成有公式可用的图形。

动手探索先玩，再学公式

面积：还没有选任何部分 = 0

梯形 ABCD
ABCDP842
面积
点各个部分来组合

点一块：加上（+）、减去（−），或者不用它。

还没有选任何部分。点一块把它加上。

认识概念

概念 37.1.1 · 求复杂图形面积的技巧

  • 分割：把图形分成更“好算”的几块。
  • 延长线段：延长后能得到更好处理的图形（比如三角形）时，就延长它们。
  • 拆分面积：常用的办法是作高，作出来的通常是直角三角形。

正方形，边长 2，距离 1：图形外部 8 + π；连同图形 12 + π

边长2
距离 d1
2d
图形外部
8 + π ≈ 11.14
连同图形: 12 + π
长方形：周长 × d = 8×18 \times 1
角上的扇形（合起来是一个圆）： πd2=π⋅12\pi d^2 = \pi \cdot 1^2
整个区域： A+Pd+πd2A + Pd + \pi d^2

各边上的长方形 + 角上的扇形

图形外部: 8 + π; 连同图形: 12 + π

注 37.1.2

一个常用技巧：先用一种方法求出图形的面积，再用一个未知量表示同一个面积（高、内切圆半径、外接圆半径……），然后解出这个未知量。

看例题先预测，再揭晓

例 37.1

AIME

如图，两个正方形的中心都是 OO，边长都是 11。AB‾\overline{AB} 的长是 43/9943/99，八边形 ABCDEFGHABCDEFGH 的面积是 m/nm/n，其中 mm 和 nn 是互质的正整数。求 m+nm + n。

分割工作室 (总数在例题最后一步揭晓)

八边形 ABCDEFGH
CBAHGFEDO
面积
点各个部分来组合

点一块：加上（+）、减去（−），或者不用它。

还没有选任何部分。点一块把它加上。

  1. 1

    八边形没有现成的公式。把 OO 和八个顶点都连起来，能得到几个三角形？

    先预测一下：
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例 37.2

AMC 10

如图，分别以 AA、BB 为圆心的两个圆半径都是 22。点 OO 是 AB‾\overline{AB} 的中点，且 OA=22OA = 2\sqrt{2}。线段 OC‾\overline{OC} 和 OD‾\overline{OD} 分别与以 AA、BB 为圆心的圆相切，EF‾\overline{EF} 是两圆的公切线。阴影部分 ECODFECODF 的面积是多少？

分割工作室 (总数在例题最后一步揭晓)

区域 ECODF
ABOCDEF
面积
点各个部分来组合

点一块：加上（+）、减去（−），或者不用它。

还没有选任何部分。点一块把它加上。

  1. 1

    EF‾\overline{EF} 与两个圆都相切，所以半径 AEAE 和 BFBF 都垂直于它。ABFEABFE 是什么图形？面积是多少？

    先预测一下：
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例 37.3

AIME

在各角相等的八边形 CAROLINECAROLINE 中，CA=RO=LI=NE=2CA = RO = LI = NE = \sqrt{2}，AR=OL=IN=EC=1AR = OL = IN = EC = 1。自交八边形 CORNELIACORNELIA 围成六个互不重叠的三角形区域。设 KK 是 CORNELIACORNELIA 围成的面积，即这六个三角形区域的面积之和。则 K=abK = \dfrac{a}{b}，其中 aa 和 bb 是互质的正整数。求 a+ba + b。

分割工作室 (总数在例题最后一步揭晓)

八边形 CAROLINE
CAROLINE
面积
点各个部分来组合

点一块：加上（+）、减去（−），或者不用它。

还没有选任何部分。点一块把它加上。

  1. 1

    八边形的每个角都是 135∘135^\circ，所以每条边都比上一条转过 45∘45^\circ。一条与水平方向成 45∘45^\circ、长 2\sqrt2 的边，就是向右一格、向上一格。把 CC 放在 (0,0)(0, 0)，沿着边走一圈。这个八边形有多宽？

    先预测一下：
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自己做

习题 37.4.1（补充题）

AMC 12

一个半径为 22 的圆以 AA 为圆心。一个边长为 44 的等边三角形有一个顶点在 AA。在圆内但在三角形外的区域面积，与在三角形内但在圆外的区域面积，二者之差是多少？

习题 37.4.14（补充题）

AMC 10

一个正六边形的边长是 66。如图，以每个顶点为圆心画半径为 33 的全等圆弧，得到若干扇形。如图，在六边形内、扇形外的区域涂上了阴影。阴影部分的面积是多少？

竞赛角真实竞赛题

习题 37.3.3

AMC 10

如下图，边长为 22 的正六边形内部有六个半圆，半圆的直径分别与六边形的各边重合。阴影部分（在六边形内、但在所有半圆外）的面积是多少？

习题 37.4.9（补充题）

AMC 10

图中的图形叫作三叶形，它是以几个全等等边三角形的边为弦画出扇形构成的。水平底边长为 22 的三叶形面积是多少？

习题 37.4.11（补充题）

AMC 10

一个边长为 11 的正方形和一个半径为 33\dfrac{\sqrt{3}}{3} 的圆有相同的中心。在圆内但在正方形外的面积是多少？

习题 37.4.12（补充题）

AMC 10

一个等边三角形的边长是 66。所有在三角形外、且到三角形上某一点的距离不超过 33 个单位的点构成一个区域。这个区域的面积是多少？

习题 37.4.15（补充题）

AMC 10/12

如图，一个直径为 11 的半圆放在一个直径为 22 的半圆顶上。在小半圆内、大半圆外的阴影部分叫作月牙形。求这个月牙形的面积。

习题 37.4.17（补充题）

AMC 10

一个半径为 11 的圆分别在点 AA 和 BB 处与两个半径为 22 的圆内切，其中 AB‾\overline{AB} 是小圆的直径。图中阴影部分在小圆外、且同时在两个大圆内。它的面积是多少？

习题 37.4.18（补充题）

AMC 10

一个半径为 22 的圆以 OO 为圆心。正方形 OABCOABC 的边长是 11。把边 AB‾\overline{AB} 和 CB‾\overline{CB} 延长过 BB，分别与圆交于 DD 和 EE。图中阴影部分由 BD‾\overline{BD}、BE‾\overline{BE} 和连接 DD、EE 的劣弧围成，它的面积是多少？

习题 37.4.7（补充题）

AMC 12

三角形 ABCABC 中，AC=3AC = 3，BC=4BC = 4，AB=5AB = 5。点 DD 在 AB‾\overline{AB} 上，CD‾\overline{CD} 平分直角。△ADC\triangle ADC 和 △BCD\triangle BCD 的内切圆半径分别是 rar_a 和 rbr_b。ra/rbr_a/r_b 是多少？

过关检测（第 37.1 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

一个半径为 22 的圆以 OO 为圆心。正方形 OABCOABC 的边长是 11。把边 AB‾\overline{AB} 和 CB‾\overline{CB} 延长过 BB，分别与圆交于 DD 和 EE。图中阴影部分由 BD‾\overline{BD}、BE‾\overline{BE} 和连接 DD、EE 的劣弧围成，它的面积是多少？

2

一个正方形的边长是 44。在正方形内以一个顶点为圆心画一个半径为 44 的四分之一圆。正方形在四分之一圆外的部分面积是多少？

3

一个等腰梯形的两底分别是 1010 和 44，高是 33。把两腰延长，交于 PP。由 PP 和较短的底构成的三角形面积是多少？

37.20%

复杂图形的长度

在本节中，你将能够 把复杂图形中的路径拆成弧和线段，并找出直角、相等的角和相似三角形，从而求出长度。

长度和面积一样会藏起来。这里的一个等角，能换来那里的一段等长；一个直角，就送你一次勾股定理。

把一条长路径拆成可以度量的几段：直线段和弧。一段弧是整个圆周的一部分， θ360∘⋅2πr\frac{\theta}{360^\circ} \cdot 2\pi r。

长度卡住了，就添一条辅助线：连到切点的半径、一条高，或者一条延长线，构造出特殊三角形或相似三角形。

动手探索先玩，再学公式

长度：还没有选任何部分 = 0

九段弧组成的曲线
2
长度
点各个部分来组合

点一段：把它算进总长，或者拿掉。

还没有选任何部分。点一块把它加上。

认识概念

概念 37.2.1 · 求复杂图形中的长度

  • 等角对等边，反过来也成立。
  • 留意 90∘90^\circ 角：有了它就能用勾股定理。
  • 拆分长度：添加辅助线或作高，把一段长度分成几段。
  • 延长线段，构造出相似三角形、特殊三角形等，再减去多出来的长度。

看例题先预测，再揭晓

例 37.4

AMC 12

在 △ABC\triangle ABC 中，∠C=90∘\angle C = 90^\circ，AB=12AB = 12。在三角形外作正方形 ABXYABXY 和 CBWZCBWZ。点 XX、YY、ZZ、WW 在同一个圆上。这个三角形的周长是多少？

分割工作室 (总数在例题最后一步揭晓)

三角形 ABC
ABCXYWZ12
长度
12 = ? (例题最后一步揭晓)

点一段：把它算进总长，或者拿掉。

12 = ?

  1. 1

    圆心在每条弦的垂直平分线上。XY‾\overline{XY} 的垂直平分线也是 AB‾\overline{AB} 的垂直平分线，WZ‾\overline{WZ} 的垂直平分线也是 CB‾\overline{CB} 的垂直平分线。那么圆心在哪里？

    先预测一下：
    点击一个选项，或输入它的字母（A–E）。
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例 37.5

AMC 12

一张圆桌的半径是 44。桌上放了六张长方形餐垫。如图，每张餐垫宽 11、长 xx。摆放时，每张餐垫都有两个角在桌子边缘上，这两个角是同一条长为 xx 的边的两个端点。此外，每张餐垫的内侧两个角分别碰到相邻餐垫的一个内侧角。xx 是多少？

分割工作室 (总数在例题最后一步揭晓)

六张餐垫
O41
长度
点各个部分来组合

点一段：把它算进总长，或者拿掉。

还没有选任何部分。点一块把它加上。

  1. 1

    相邻餐垫的内侧角相碰，所以六条长为 xx 的内侧边围成一个正六边形。OO 到一条内侧边的距离（六边形的边心距）是多少？

    先预测一下：
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自己做

习题 37.4.16（补充题）

AMC 10/12

正方形 ABCDABCD 的边长是 22。在正方形内以 AB‾\overline{AB} 为直径作一个半圆，从 CC 作半圆的切线，与边 AD‾\overline{AD} 交于 EE。CE‾\overline{CE} 的长是多少？

竞赛角真实竞赛题

习题 37.4.8（补充题）

AMC 10

一个圆心为 OO 的圆面积是 156π156\pi。三角形 ABCABC 是等边三角形，BC‾\overline{BC} 是圆的一条弦，OA=43OA = 4\sqrt{3}，且点 OO 在 △ABC\triangle ABC 外。△ABC\triangle ABC 的边长是多少？

习题 37.4.19（补充题）

AMC 10

如图，用一把刷子沿正方形的两条对角线各刷一遍，得到对称的涂色区域。正方形面积的一半被涂了色。正方形的边长与刷子宽度之比是多少？

习题 37.4.13（补充题）

AMC 10

图中的封闭曲线由 99 段全等的圆弧组成，每段弧长 2π3\dfrac{2\pi}{3}，并且每段弧所在圆的圆心都是一个边长为 22 的正六边形的某个顶点。这条曲线围成的面积是多少？

习题 37.4.24（补充题）

AIME挑战

如下面两图所示，正方形 S1S_1 和 S2S_2 内接于直角三角形 ABCABC。若面积(S1)=441(S_1) = 441，面积(S2)=440(S_2) = 440，求 AC+CBAC + CB。

过关检测（第 37.2 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

图中的封闭曲线由 99 段全等的圆弧组成，每段弧长 2π3\dfrac{2\pi}{3}，并且每段弧所在圆的圆心都是一个边长为 22 的正六边形的某个顶点。这条曲线围成的面积是多少？

2

一根铁丝围出这样的图形：边长为 22 的正方形，每条边上向外凸出一个半圆（每条边都是直径）。铁丝只沿着四个半圆走。它有多长？

3

一个等腰梯形的两底分别是 66 和 1414，高是 33。它的周长是多少？

37.3

练习题

在本节中，你将能够 练习把四边形和多边形拆成认识的几块。

这两道题你可能在第 33 章和第 35 章见过。这一次，找出那一刀能让它变简单的切法。

竞赛角真实竞赛题

习题 37.3.1

AMC 12

这道题在书中还以 33.6.1 的编号出现。

如图，凸四边形 ABCDABCD 中，AB=3AB = 3，BC=4BC = 4，CD=13CD = 13，AD=12AD = 12，∠ABC=90∘\angle ABC = 90^\circ。这个四边形的面积是多少？

习题 37.3.2

AMC 12

这道题在书中还以 35.6 的编号出现。

正八边形 ABCDEFGHABCDEFGH 的面积是 nn。设 mm 是四边形 ACEGACEG 的面积。mn\dfrac{m}{n} 是多少？

37.4

补充习题

在本节中，你将能够 在竞赛题中综合运用本章的所有工具：区域加减、延长线段、作高。

其余的补充习题。动手计算之前，先想好怎么把图形切开。

竞赛角真实竞赛题

习题 37.4.2（补充题）

AIME

一个长方形的两边长分别是 aa 和 3636。在长方形的每个顶点，以及每条长为 3636 的边的中点，都装上一个铰链。保持两条长为 aa 的边平行，把它们向彼此推近，长方形就变成如图所示的凸六边形。当图形是一个六边形、两条长为 aa 的边平行且相距 2424 时，这个六边形的面积与原来的长方形相同。求 a2a^2。

习题 37.4.3（补充题）

AIME

这道题在书中还以 33.6.28 的编号出现。

ABCDABCD 是一张长方形纸片，把它折叠，使角 BB 与边 ADAD 上的点 B′B' 重合。折痕是 EFEF，其中 EE 在 ABAB 上，FF 在 CDCD 上。已知 AE=8AE = 8，BE=17BE = 17，CF=3CF = 3。长方形 ABCDABCD 的周长是 m/nm/n，其中 mm 和 nn 是互质的正整数。求 m+nm + n。

把 B 折到 B′：折痕 EF 是 BB′ 的垂直平分线

EFABCDC′B′
折痕 EF ⊥ BB′

把 B 折到 B′：折痕 EF 是 BB′ 的垂直平分线

习题 37.4.4（补充题）

AMC 10

等边三角形 ABCABC 的边 AB‾\overline{AB} 和 AC‾\overline{AC} 分别在点 BB 和 CC 处与一个圆相切。△ABC\triangle ABC 的面积中有几分之几在圆外？

习题 37.4.5（补充题）

AMC 12

在一个单位正方形的每条边上，各作一个边长为 11 的等边三角形。在每个等边三角形的每条新边上，再各作一个边长为 11 的等边三角形。正方形和这 1212 个三角形的内部两两没有公共点。设 RR 是正方形和所有三角形的并集构成的区域，SS 是包含 RR 的最小凸多边形。在 SS 内但在 RR 外的区域面积是多少？

习题 37.4.6（补充题）

AMC 12

等边 △ABE\triangle ABE 的顶点 EE 在单位正方形 ABCDABCD 的内部。设 RR 是由所有在 ABCDABCD 内、在 △ABE\triangle ABE 外，且到 AD‾\overline{AD} 的距离在 13\frac13 与 23\frac23 之间的点构成的区域。RR 的面积是多少？

习题 37.4.10（补充题）

AMC 10

这道题在书中还以 35.4.3 的编号出现。

两个圆在正六边形 ABCDEFABCDEF 的外部。第一个圆与 AB‾\overline{AB} 相切，第二个圆与 DE‾\overline{DE} 相切。两个圆都与直线 BCBC 和 FAFA 相切。第二个圆的面积与第一个圆的面积之比是多少？

点击一个选项，或输入它的字母（A–E）。

习题 37.4.20（补充题）

AMC 10

这道题在书中还以 37.2 的编号出现。

如图，分别以 AA、BB 为圆心的两个圆半径都是 22。点 OO 是 AB‾\overline{AB} 的中点，且 OA=22OA = 2\sqrt{2}。线段 OC‾\overline{OC} 和 OD‾\overline{OD} 分别与以 AA、BB 为圆心的圆相切，EF‾\overline{EF} 是两圆的公切线。阴影部分 ECODFECODF 的面积是多少？

习题 37.4.21（补充题）

AMC 10

把一个单位正方形绕它的中心旋转 45∘45^\circ。正方形的内部扫过的区域面积是多少？

习题 37.4.22（补充题）

AMC 10

这道题在书中还以 37.4.4 的编号出现。

等边三角形 ABCABC 的边 AB‾\overline{AB} 和 AC‾\overline{AC} 分别在点 BB 和 CC 处与一个圆相切。△ABC\triangle ABC 的面积中有几分之几在圆外？

习题 37.4.23（补充题）

AMC 12

圆 ω1\omega_1、ω2\omega_2、ω3\omega_3 的半径都是 44，它们在平面上两两外切。点 P1P_1、P2P_2、P3P_3 分别在 ω1\omega_1、ω2\omega_2、ω3\omega_3 上，满足 P1P2=P2P3=P3P1P_1P_2 = P_2P_3 = P_3P_1，并且对每个 i=1,2,3i = 1, 2, 3，直线 PiPi+1P_iP_{i+1} 都与 ωi\omega_i 相切，其中 P4=P1P_4 = P_1。见下图。△P1P2P3\triangle P_1P_2P_3 的面积可以写成 a+b\sqrt{a} + \sqrt{b} 的形式，其中 aa、bb 是正整数。a+ba + b 是多少？