立体几何：全部习题

体积分别为 $1$、$8$、$27$、$64$、$125$、$216$、$343$ 立方单位的 7 个正方体竖直叠成一座塔，从下到上体积依次减小。除了最下面的正方体，每个正方体的底面都完全落在它下面那个正方体的顶面上。这座塔的总表面积（包括底面）是多少平方单位？

Jerry 按图中虚线从一根长 $6$ 厘米的圆柱形香肠上切下一块楔形。哪个选项最接近这块楔形的体积（单位：立方厘米）？

在正方体 $ABCDEFGH$ 中，$C$ 和 $E$ 是相对的顶点，$J$ 和 $I$ 分别是线段 $\overline{FB}$ 和 $\overline{HD}$ 的中点。设 $R$ 是截面 $EJCI$ 的面积与正方体一个面的面积之比。$R^2$ 是多少？

Isabella 用棱长 1 英尺的正方体积木搭一座长方体堡垒，长 $12$ 英尺、宽 $10$ 英尺、高 $5$ 英尺。地面和四面墙的厚度都是 1 英尺。这座堡垒用了多少块积木？

图中两个圆锥的底面平行，并有公共顶点 $T$。$TW = 32$ 米，$WV = 8$ 米，$ZY = 5$ 米。以圆 $W$ 和圆 $Z$ 为底面的圆台体积是多少？用含 $\pi$ 的式子表示答案。

如图，在半径为 $2$ 的球面上画 4 个全等的半圆，组成一条闭合曲线，把球面分成两个全等的区域。这条曲线的长度是 $\pi\sqrt{n}$。$n$ 是多少？

一个底面半径 $12$ 厘米、高 $18$ 厘米的倒立圆锥装满了水。把水倒进一个很高的圆柱里，圆柱的水平底面半径是 $24$ 厘米。圆柱中水的高度是多少厘米？

如下图，两个顶点朝下的直圆锥装有同样多的液体。液面的半径分别是 $3$ 厘米和 $6$ 厘米。往每个圆锥里各放入一颗半径为 $1$ 厘米的球形弹珠，弹珠沉到底部并完全浸没，液体没有溢出。窄圆锥液面上升的高度与宽圆锥液面上升的高度之比是多少？

在边长为 $1$ 的正方形四周接上 4 个边长为 $1$ 的正六边形，做成一个碗。如图，相邻六边形的边重合。把 4 个六边形最上面的 8 个顶点（位于碗口上）连起来，得到一个八边形。这个八边形的面积是多少？

四面体 $ABCD$ 的棱长为 $AB = 2$，$AC = 3$，$AD = 4$，$BC = \sqrt{13}$，$BD = 2\sqrt5$，$CD = 5$。它的体积是多少？

设 $ABCD$ 是一个长方形，$\overline{DM}$ 是一条垂直于平面 $ABCD$ 的线段。已知 $\overline{DM}$ 的长度是整数，并且 $\overline{MA}$、$\overline{MC}$、$\overline{MB}$ 的长度（按这个顺序）是连续的正奇数。棱锥 $MABCD$ 的体积是多少？

下图中五面体的底面是一个 $13 \times 8$ 的长方形，它的侧面是两个底边长 $8$、两腰长 $13$ 的等腰三角形，以及两个上下底长 $7$ 和 $13$、两腰长 $13$ 的等腰梯形。这个五面体的体积是多少？

一个灯罩的形状是直圆台的侧面。圆台的高是 $3\sqrt3$ 英寸，上底直径是 $6$ 英寸，下底直径是 $12$ 英寸。一只虫子在灯罩的底边上，灯罩上边缘离虫子最远的地方有一滴蜂蜜。虫子想爬到蜂蜜那里，但它必须待在灯罩的表面上。它到蜂蜜的最短路径长多少英寸？

设 $ABCD$ 是一个四面体，满足 $AB = CD = \sqrt{41}$，$AC = BD = \sqrt{80}$，$BC = AD = \sqrt{89}$。四面体内部存在一点 $I$，从 $I$ 到四面体各个面的距离都相等。这个距离可以写成 $\frac{m\sqrt n}{p}$ 的形式，其中 $m$、$n$、$p$ 是正整数，$m$ 与 $p$ 互质，且 $n$ 不能被任何质数的平方整除。求 $m + n + p$。

如图，用平行于底面的平面把一个直圆锥切成 4 块，每一块的高都相同。第二大的那块与最大的那块的体积之比是多少？用最简分数表示答案。

把下图中长方体各个面的中心连起来，得到一个八面体。这个八面体的体积是多少？

如图，一个容器的底是 $1 \times 1$ 的正方形，顶部是敞开的 $3 \times 3$ 正方形，四个侧面是全等的梯形。从容器空着开始，一根以恒定流速出水的水管用 $35$ 分钟把水注到梯形的中位线处。注满容器的剩余部分还要多少分钟？

一个底面为正方形的棱锥被一个平行于底面、距底面 $2$ 个单位的平面截开。从顶部截下的小棱锥的表面积是原棱锥表面积的一半。原棱锥的高是多少？

一座白色的圆柱形筒仓直径 $30$ 英尺，高 $80$ 英尺。如图，筒仓上漆了一条水平宽度为 $3$ 英尺的红色条纹，绕筒仓整整两圈。这条条纹的面积是多少平方英尺？

一个直径等于高的直圆柱内接于一个直圆锥。圆锥的直径为 $10$，高为 $12$，圆柱和圆锥的轴重合。求圆柱的半径。

一个边长为 $6$ 的正六边形，每条边上都接着一个等腰三角形。每个等腰三角形都有两条边长为 $8$。把这些等腰三角形折起来，做成一个以这个六边形为底面的棱锥。这个棱锥的体积是多少？

一个冰淇淋甜筒由一个香草冰淇淋球和一个与球直径相同的直圆锥组成。如果冰淇淋融化，它恰好能装满圆锥。假设融化后的冰淇淋体积是冷冻时体积的 $75\%$。圆锥的高与半径之比是多少？（注：半径为 $r$、高为 $h$ 的圆锥体积是 $\pi r^2 h/3$，半径为 $r$ 的球体积是 $4\pi r^3/3$。）

三角形 $ABC$ 的边长为 $5$、$6$、$7$，它的一个顶点在 $x$ 轴正半轴上，一个在 $y$ 轴正半轴上，一个在 $z$ 轴正半轴上。设 $O$ 为原点。四面体 $OABC$ 的体积是多少？

如图，一个棱长为 $1$ 的正方体被一个平面截开，这个平面经过两个相对的顶点 $A$ 和 $C$，以及两条相对棱（都不含 $A$ 或 $C$）的中点 $B$ 和 $D$。四边形 $ABCD$ 的面积是多少？

把下图中长方体各个面的中心连起来，得到一个八面体。这个八面体的体积是多少？

一款冰淇淋产品由两部分组成：一个杯子，形状是高 $4$ 英寸的直圆台，下底直径 $2$ 英寸，上底直径 $4$ 英寸，里面装满冰淇淋；以及一个高 $4$ 英寸的实心冰淇淋圆锥，它的底面在下方，就是圆台的上底。冰淇淋的总体积是多少立方英寸？

一个棱锥的底面是边长为 $1$ 的正方形，侧面都是等边三角形。把一个正方体放进棱锥里，使它的一个面在棱锥的底面上，而相对的那个面的四条棱都在棱锥的侧面上。这个正方体的体积是多少？

一个棱锥的底面是边长为 $1$ 的正方形，侧面都是等边三角形。把一个正方体放进棱锥里，使它的一个面在棱锥的底面上，而相对的那个面的四条棱都在棱锥的侧面上。这个正方体的体积是多少？

Jesse 沿两条半径把一张半径为 $12$ 的圆形纸片剪开，得到两个扇形，较小的扇形圆心角为 $120$ 度。他用每个扇形围成一个圆锥的侧面，做出两个圆锥。较小圆锥与较大圆锥的体积之比是多少？

6 个半径为 $1$ 的球的球心位于一个边长为 $2$ 的正六边形的顶点上。这 6 个球都与一个更大的球内切，大球的球心就是六边形的中心。第 8 个球与这 6 个小球都外切，并与大球内切。第 8 个球的半径是多少？

如图，一个球内切于一个直圆台。圆台的体积是球体积的两倍。圆台下底半径与上底半径之比是多少？

一根圆柱形木头的直径是 $12$ 英寸。沿两个完全穿过木头的平面切两刀，从木头上切下一块楔形。第一刀垂直于圆柱的轴，第二刀所在的平面与第一刀所在的平面成 $45^\circ$ 角。这两个平面的交线与木头恰好只有一个公共点。楔形的体积（立方英寸）可以表示为 $n\pi$，其中 $n$ 是正整数。求 $n$。

在图中的长方体中，$AB = 3$，$BC = 1$，$CG = 2$。点 $M$ 是 $\overline{FG}$ 的中点。以 $BCHE$ 为底面、$M$ 为顶点的四棱锥体积是多少？

把单位正方体相邻各面的中心连起来，得到一个正八面体。这个正八面体的体积是多少？

一个球内切于一个表面积为 $24$ 平方米的正方体。再在球内作一个内接正方体。里面这个正方体的表面积是多少平方米？

Logan 正在做他所在小镇的比例模型。镇上的水塔高 $40$ 米，顶部是一个能装 $100{,}000$ 升水的球。Logan 的微缩水塔能装 $0.1$ 升。Logan 应该把模型水塔做成多少米高？

一个直角三角形绕一条直角边旋转，得到的圆锥体积是 $800\pi$ cm$^3$。绕另一条直角边旋转，得到的圆锥体积是 $1920\pi$ cm$^3$。这个三角形的斜边长多少厘米？

图中立体的底面是边长为 $s$ 的正方形。上面的棱与底面平行，长为 $2s$。其余各棱长都是 $s$。已知 $s = 6\sqrt2$，这个立体的体积是多少？

一个直圆锥形容器高 $12$ 英寸，底面半径为 $5$ 英寸。当圆锥尖端朝下、底面水平时，里面密封的液体深 $9$ 英寸。当把它拿成尖端朝上、底面水平时，液面到底面的高度是 $m - n\sqrt[3]{p}$，其中 $m$、$n$、$p$ 是正整数，且 $p$ 不能被任何质数的立方整除。求 $m + n + p$。

一个长方体盒子宽 $12$ 英寸，长 $16$ 英寸，高 $\frac{m}{n}$ 英寸，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。盒子的三个面交于盒子的一个顶点。这三个面的中心构成一个面积为 $30$ 平方英寸的三角形。求 $m + n$。

三个两两相切、半径为 $1$ 的球放在一个水平面上。一个半径为 $2$ 的球放在它们上面。水平面到大球顶端的距离是多少？

在一个正四面体中，四个面的中心是一个较小四面体的顶点。较小四面体与较大四面体的体积之比是 $m/n$，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$。

一个半径 $4$ 英尺、高 $10$ 英尺的圆柱形桶装满了水。把一个棱长 $8$ 英尺的实心正方体放进桶里，使正方体的对角线竖直。由此排出的水的体积是 $v$ 立方英尺。求 $v^2$。

如下图标记的正方体 $ABCDEFGH$ 棱长为 $1$，被一个经过顶点 $D$ 以及 $\overline{AB}$ 和 $\overline{CG}$ 的中点 $M$ 和 $N$ 的平面截开。这个平面把正方体分成两个立体。较大立体的体积可以写成 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 和 $q$ 是互质的正整数。求 $p + q$。