36. 立体几何 · Mastering AMC 10/12

36.10%

正方体

在本节中，你将能够 由正方体的棱长求出它的体积、表面积和体对角线。

正方体的体对角线是“直角三角形叠在直角三角形上”：先沿一个面走 $\sqrt2,a$ ，再穿过内部得到 $\sqrt3,a$ 。

6 个相同的正方形面给出 $S = 6a^2$ ；把 $a$ 层、每层 $a \times a$ 个单位正方体叠起来，得到 $V = a^3$ 。

注意：

面对角线 $\sqrt2,a$ 和一条棱 $a$ 是一个直角三角形的两条直角边，它的斜边就是体对角线： $\sqrt{2a^2 + a^2} = \sqrt3,a$ 。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 按“展开”。展开图由几个正方形组成？检查表面积是不是一个面的 6 倍。
试一试： 把“棱长 a”调到 3。读数是不是体积 27、表面积 54、体对角线 3√3？
试一试： 看看面对角线和体对角线。为什么一个是棱长的 √2 倍，另一个是 √3 倍？

认识概念

定理 36.1.1 · 正方体的体积和表面积

棱长为 $a$ 的正方体：

\text{体积} = a^3, \qquad \text{表面积} = 6a^2,

而体对角线（从一个顶点穿过内部到相对的顶点）的长度是

\sqrt{3}\,a.

竞赛角真实竞赛题

习题 36.10.1

AMC 10A

体积分别为 $1$ 、 $8$ 、 $27$ 、 $64$ 、 $125$ 、 $216$ 、 $343$ 立方单位的 7 个正方体竖直叠成一座塔，从下到上体积依次减小。除了最下面的正方体，每个正方体的底面都完全落在它下面那个正方体的顶面上。这座塔的总表面积（包括底面）是多少平方单位？

习题 36.10.35（补充题）

AMC 10

一个球内切于一个表面积为 $24$ 平方米的正方体。再在球内作一个内接正方体。里面这个正方体的表面积是多少平方米？

过关检测（第 36.1 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

36.20%

长方体

在本节中，你将能够 由长方体的长、宽、高求出它的体积、表面积和体对角线。

体积是三个尺寸相乘；表面积是 6 个面相加，这 6 个面恰好是三对相同的长方形。

长 $l$ 、宽 $b$ 、高 $h$ 的长方体，有 $V = lbh$ 和 $S = 2(lb + bh + lh)$ 。

注意：

体对角线要用两次勾股定理：先在底面上走 $\sqrt{l^2 + b^2}$ ，再向上走 $h$ 。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 这个长方体是 3 × 4 × 5。读出 V 和 S。哪三个面的面积各算两次，合起来就是 S？
试一试： 按“展开”。在展开图中找出三对相同的长方形。
试一试： 体对角线是 √(3² + 4² + 5²) = 5√2。改变其中一个尺寸，先预测新的体对角线，再看读数。

认识概念

定理 36.2.1 · 长方体的体积和表面积

长 $l$ 、宽 $b$ 、高 $h$ 的长方体：

V = lbh, \qquad S = 2(lb + bh + lh),

它的体对角线长

\sqrt{l^2 + b^2 + h^2}.

自己做

习题 36.10.4

AMC 8

Isabella 用棱长 1 英尺的正方体积木搭一座长方体堡垒，长 $12$ 英尺、宽 $10$ 英尺、高 $5$ 英尺。地面和四面墙的厚度都是 1 英尺。这座堡垒用了多少块积木？

竞赛角真实竞赛题

习题 36.10.16（补充题）

AMC 10

把下图中长方体各个面的中心连起来，得到一个八面体。这个八面体的体积是多少？

习题 36.10.33（补充题）

AMC 10

在图中的长方体中， $AB = 3$ ， $BC = 1$ ， $CG = 2$ 。点 $M$ 是 $\overline{FG}$ 的中点。以 $BCHE$ 为底面、 $M$ 为顶点的四棱锥体积是多少？

习题 36.10.25（补充题）

AMC 10

这道题在书中还以 36.10.16 的编号出现。

把下图中长方体各个面的中心连起来，得到一个八面体。这个八面体的体积是多少？

习题 36.10.40（补充题）

AIME

一个长方体盒子宽 $12$ 英寸，长 $16$ 英寸，高 $\frac{m}{n}$ 英寸，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。盒子的三个面交于盒子的一个顶点。这三个面的中心构成一个面积为 $30$ 平方英寸的三角形。求 $m + n$ 。

过关检测（第 36.2 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

36.30%

圆柱

在本节中，你将能够 求出圆柱的体积和表面积，并把它的侧面展开成长方形。

把汤罐头上的标签撕下来：它是一个长 $2\pi r$ 、高 $h$ 的长方形。

圆柱是一摞圆片，所以 $V = \pi r^2 h$ 。它的表面是两个圆加上那个长方形： $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$ 。

注意：

在展开的长方形上，路径和条纹都变成了直线和斜带。曲面上画的任何东西都可以这样来量。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 按“展开”。侧面变成了一个长方形。它有多长？为什么是 2πr？
试一试： 读出表面积。多出来的两个 πr² 是从哪里来的？
试一试： 把半径加倍。体积是变成 2 倍还是 4 倍？

认识概念

定理 36.3.1 · 圆柱的体积和表面积

半径 $r$ 、高 $h$ 的圆柱：

V = \pi r^2 h, \qquad S = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r(r + h).

两个底面圆给出 $2\pi r^2$ ；侧面展开是一个 $2\pi r$ 乘 $h$ 的长方形。

自己做

习题 36.10.2

AMC 8

Jerry 按图中虚线从一根长 $6$ 厘米的圆柱形香肠上切下一块楔形。哪个选项最接近这块楔形的体积（单位：立方厘米）？

竞赛角真实竞赛题

习题 36.10.19（补充题）

AMC 10A

一座白色的圆柱形筒仓直径 $30$ 英尺，高 $80$ 英尺。如图，筒仓上漆了一条水平宽度为 $3$ 英尺的红色条纹，绕筒仓整整两圈。这条条纹的面积是多少平方英尺？

习题 36.10.32（补充题）

AIME

一根圆柱形木头的直径是 $12$ 英寸。沿两个完全穿过木头的平面切两刀，从木头上切下一块楔形。第一刀垂直于圆柱的轴，第二刀所在的平面与第一刀所在的平面成 $45^\circ$ 角。这两个平面的交线与木头恰好只有一个公共点。楔形的体积（立方英寸）可以表示为 $n\pi$ ，其中 $n$ 是正整数。求 $n$ 。

习题 36.10.43（补充题）

AIME

一个半径 $4$ 英尺、高 $10$ 英尺的圆柱形桶装满了水。把一个棱长 $8$ 英尺的实心正方体放进桶里，使正方体的对角线竖直。由此排出的水的体积是 $v$ 立方英尺。求 $v^2$ 。

过关检测（第 36.3 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

1

一个圆柱的半径是 $3$ ，高是 $5$ 。它的表面积是多少？（用含 $\pi$ 的式子表示答案。）

2

一个圆柱的体积是 $72\pi$ ，半径是 $3$ 。它的高是多少？

3

一座白色的圆柱形筒仓直径 $30$ 英尺，高 $80$ 英尺。如图，筒仓上漆了一条水平宽度为 $3$ 英尺的红色条纹，绕筒仓整整两圈。这条条纹的面积是多少平方英尺？

36.40%

圆锥

在本节中，你将能够 运用圆锥的体积、表面积和斜高，并处理圆台问题。

圆锥的体积恰好是外面那个圆柱的三分之一。

$V = \frac13 \pi r^2 h$ 。斜高 $s = \sqrt{r^2 + h^2}$ 是从侧面看到的那个直角三角形的斜边，侧面积是 $\pi r s$ 。

注意：

用平行于底面的平面截圆锥，上面的小圆锥和整个圆锥相似。如果它的高是原来的 $k$ 倍，体积就是原来的 $k^3$ 倍。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 比较“圆锥”和“圆柱”（r 和 h 相同）。几个圆锥的水能装满这个圆柱？
试一试： 这个圆锥 r = 3，h = 4。先在侧视图中求出斜高，再看读数。
试一试： 按“展开”。侧面变成了一个扇形。为什么扇形的半径就是斜高？
试一试： 试试“圆台”：被截去尖顶的圆锥。怎样用两个圆锥求出它的体积？

认识概念

定理 36.4.1 · 圆锥的体积和表面积

半径 $r$ 、高 $h$ 、斜高 $s$ 的圆锥：

V = \frac13 \pi r^2 h, \qquad S = \pi r^2 + \pi r s = \pi r(r + s).

用文字说：体积是 $\pi \cdot \text{半径}^2 \cdot \text{高}$ 的三分之一；表面积是底面 $\pi r^2$ 加上侧面 $\pi \cdot \text{半径} \cdot \text{斜高}$ 。

注 36.4.2 · 斜高

斜高 $s$ （圆锥的斜高也叫母线）是从圆锥顶点到底面圆周的距离。高、半径和斜高组成一个直角三角形，所以

s = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{\text{半径}^2 + \text{高}^2}.

自己做

习题 36.10.7

AMC 10/12

一个底面半径 $12$ 厘米、高 $18$ 厘米的倒立圆锥装满了水。把水倒进一个很高的圆柱里，圆柱的水平底面半径是 $24$ 厘米。圆柱中水的高度是多少厘米？

竞赛角真实竞赛题

习题 36.10.20（补充题）

AMC 10

一个直径等于高的直圆柱内接于一个直圆锥。圆锥的直径为 $10$ ，高为 $12$ ，圆柱和圆锥的轴重合。求圆柱的半径。

习题 36.10.26（补充题）

AMC 12

一款冰淇淋产品由两部分组成：一个杯子，形状是高 $4$ 英寸的直圆台，下底直径 $2$ 英寸，上底直径 $4$ 英寸，里面装满冰淇淋；以及一个高 $4$ 英寸的实心冰淇淋圆锥，它的底面在下方，就是圆台的上底。冰淇淋的总体积是多少立方英寸？

习题 36.10.5

MATHCOUNTS

图中两个圆锥的底面平行，并有公共顶点 $T$ 。 $TW = 32$ 米， $WV = 8$ 米， $ZY = 5$ 米。以圆 $W$ 和圆 $Z$ 为底面的圆台体积是多少？用含 $\pi$ 的式子表示答案。

习题 36.10.15（补充题）

MATHCOUNTS

如图，用平行于底面的平面把一个直圆锥切成 4 块，每一块的高都相同。第二大的那块与最大的那块的体积之比是多少？用最简分数表示答案。

习题 36.10.8

AMC 10/12

如下图，两个顶点朝下的直圆锥装有同样多的液体。液面的半径分别是 $3$ 厘米和 $6$ 厘米。往每个圆锥里各放入一颗半径为 $1$ 厘米的球形弹珠，弹珠沉到底部并完全浸没，液体没有溢出。窄圆锥液面上升的高度与宽圆锥液面上升的高度之比是多少？

习题 36.10.29（补充题）

AMC 10

Jesse 沿两条半径把一张半径为 $12$ 的圆形纸片剪开，得到两个扇形，较小的扇形圆心角为 $120$ 度。他用每个扇形围成一个圆锥的侧面，做出两个圆锥。较小圆锥与较大圆锥的体积之比是多少？

习题 36.10.37（补充题）

AIME

一个直角三角形绕一条直角边旋转，得到的圆锥体积是 $800\pi$ cm $^3$ 。绕另一条直角边旋转，得到的圆锥体积是 $1920\pi$ cm $^3$ 。这个三角形的斜边长多少厘米？

习题 36.10.39（补充题）

AIME

一个直圆锥形容器高 $12$ 英寸，底面半径为 $5$ 英寸。当圆锥尖端朝下、底面水平时，里面密封的液体深 $9$ 英寸。当把它拿成尖端朝上、底面水平时，液面到底面的高度是 $m - n\sqrt[3]{p}$ ，其中 $m$ 、 $n$ 、 $p$ 是正整数，且 $p$ 不能被任何质数的立方整除。求 $m + n + p$ 。

习题 36.10.13

AMC 12

一个灯罩的形状是直圆台的侧面。圆台的高是 $3\sqrt3$ 英寸，上底直径是 $6$ 英寸，下底直径是 $12$ 英寸。一只虫子在灯罩的底边上，灯罩上边缘离虫子最远的地方有一滴蜂蜜。虫子想爬到蜂蜜那里，但它必须待在灯罩的表面上。它到蜂蜜的最短路径长多少英寸？

过关检测（第 36.4 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

36.50%

球

在本节中，你将能够 运用球的体积和表面积公式，并看出它们怎样随半径增长。

球的表面积恰好是 4 个大圆的面积： $4\pi r^2$ 。

$V = \frac43 \pi r^3$ ， $S = 4\pi r^2$ 。体积随 $r^3$ 增长，面积随 $r^2$ 增长，这和任何相似立体图形的规律一样。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 把 r 从 3 改成 6。体积变成 8 倍，表面积变成 4 倍。为什么？
试一试： 打开“截面”，把它移到正中间。截面是一个大圆。几个大圆的面积合起来等于球的表面积？
试一试： 切换到“圆锥”，设 h = 6，让它和球一样高。它的体积和球的体积相比如何？

认识概念

定理 36.5.1 · 球的体积和表面积

半径为 $r$ 的球：

V = \frac43 \pi r^3, \qquad S = 4\pi r^2.

自己做

习题 36.10.22（补充题）

AMC 10

一个冰淇淋甜筒由一个香草冰淇淋球和一个与球直径相同的直圆锥组成。如果冰淇淋融化，它恰好能装满圆锥。假设融化后的冰淇淋体积是冷冻时体积的 $75\%$ 。圆锥的高与半径之比是多少？（注：半径为 $r$ 、高为 $h$ 的圆锥体积是 $\pi r^2 h/3$ ，半径为 $r$ 的球体积是 $4\pi r^3/3$ 。）

习题 36.10.36（补充题）

AMC 10

Logan 正在做他所在小镇的比例模型。镇上的水塔高 $40$ 米，顶部是一个能装 $100{,}000$ 升水的球。Logan 的微缩水塔能装 $0.1$ 升。Logan 应该把模型水塔做成多少米高？

竞赛角真实竞赛题

习题 36.10.6

AMC 10

如图，在半径为 $2$ 的球面上画 4 个全等的半圆，组成一条闭合曲线，把球面分成两个全等的区域。这条曲线的长度是 $\pi\sqrt{n}$ 。 $n$ 是多少？

过关检测（第 36.5 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

36.60%

四面体

在本节中，你将能够 求出任意四面体的体积，以及由棱长求出正四面体的体积。

任何四面体的体积都是 $\frac13 \cdot \text{底面积} \cdot \text{高}$ ；正四面体的体积是 $\frac{\sqrt2}{12}s^3$ 。

选最方便的那个面作底面。如果三条棱在一点两两垂直（就像长方体的一个角），就用那个直角三角形作底面、第三条棱作高： $V = \frac16 abc$ 。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 棱长是 6。顶点位于底面中心的正上方，底面中心到每个底面顶点的距离是 6/√3。检验高是 2√6 ≈ 4.9。
试一试： 读出体积 18√2，并和 √2/12 · 6³ 比较。
试一试： 按“展开”：4 个等边三角形。棱长为 6 时，表面积是多少？

认识概念

定理 36.6.1 · 四面体的体积

对任意四面体：

V = \frac13 \cdot \text{底面积} \cdot \text{高},

其中高是第四个顶点到底面所在平面的距离。

定理 36.6.2 · 正四面体的体积

正四面体（6 条棱都等于 $s$ ）的体积是

V = \frac{\sqrt2}{12} s^3.

竞赛角真实竞赛题

习题 36.10.10

AMC 10

四面体 $ABCD$ 的棱长为 $AB = 2$ ， $AC = 3$ ， $AD = 4$ ， $BC = \sqrt{13}$ ， $BD = 2\sqrt5$ ， $CD = 5$ 。它的体积是多少？

习题 36.10.23（补充题）

AMC 12

三角形 $ABC$ 的边长为 $5$ 、 $6$ 、 $7$ ，它的一个顶点在 $x$ 轴正半轴上，一个在 $y$ 轴正半轴上，一个在 $z$ 轴正半轴上。设 $O$ 为原点。四面体 $OABC$ 的体积是多少？

习题 36.10.42（补充题）

AIME

在一个正四面体中，四个面的中心是一个较小四面体的顶点。较小四面体与较大四面体的体积之比是 $m/n$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$ 。

习题 36.10.14

AIME挑战

设 $ABCD$ 是一个四面体，满足 $AB = CD = \sqrt{41}$ ， $AC = BD = \sqrt{80}$ ， $BC = AD = \sqrt{89}$ 。四面体内部存在一点 $I$ ，从 $I$ 到四面体各个面的距离都相等。这个距离可以写成 $\frac{m\sqrt n}{p}$ 的形式，其中 $m$ 、 $n$ 、 $p$ 是正整数， $m$ 与 $p$ 互质，且 $n$ 不能被任何质数的平方整除。求 $m + n + p$ 。

过关检测（第 36.6 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

36.70%

棱锥

在本节中，你将能够 求出棱锥的体积，并运用平行于底面截出的相似棱锥。

棱锥的体积是棱柱的三分之一。底面是正方形且所有棱都相等时， $V = \frac{\sqrt2}{6}s^3$ 。

平行于底面的平面截下一个和原棱锥相似的小棱锥。相似比为 $k$ 时，长度变为 $k$ 倍，面积变为 $k^2$ 倍，体积变为 $k^3$ 倍。

动手探索先玩，再学公式

底边 a6

高 h4.24

旋转30°

倾斜30°

展开0%

正四棱锥：底边 6，高 4.24。拖动图形，或用“旋转”和“倾斜”来调整。

体积 36√2

V = \tfrac{\sqrt2}{6}s^3 = 36\sqrt{2}

表面积 98.35

S = s^2 + 4 \cdot \tfrac{\sqrt3}{4}s^2 = 98.35

斜高： $3\sqrt{3}$
高： $3\sqrt{2}$

试一试： 8 条棱都等于 6。读出体积 36√2 = √2/6 · 6³。高是多少？
试一试： 按“展开”，再按“折回去”。哪个直角三角形给出侧面的斜高？
试一试： 打开“截面”，把截面放在一半高度处。上面是一个小棱锥：它占整个体积的几分之几？

认识概念

定理 36.7.1 · 棱锥的体积

对任意棱锥：

V = \frac13 \cdot \text{底面积} \cdot \text{高}.

棱锥恰好占同底同高棱柱的三分之一。

定理 36.7.2 · 正四棱锥的体积

当棱锥的底面是正方形，且8 条棱都等于 $s$ 时：

V = \frac{\sqrt2}{6} s^3.

竞赛角真实竞赛题

习题 36.10.18（补充题）

AMC 10

一个底面为正方形的棱锥被一个平行于底面、距底面 $2$ 个单位的平面截开。从顶部截下的小棱锥的表面积是原棱锥表面积的一半。原棱锥的高是多少？

习题 36.10.27（补充题）

AMC 12

一个棱锥的底面是边长为 $1$ 的正方形，侧面都是等边三角形。把一个正方体放进棱锥里，使它的一个面在棱锥的底面上，而相对的那个面的四条棱都在棱锥的侧面上。这个正方体的体积是多少？

习题 36.10.28（补充题）

AMC 10

这道题在书中还以 36.10.27 的编号出现。

一个棱锥的底面是边长为 $1$ 的正方形，侧面都是等边三角形。把一个正方体放进棱锥里，使它的一个面在棱锥的底面上，而相对的那个面的四条棱都在棱锥的侧面上。这个正方体的体积是多少？

习题 36.10.17（补充题）

AMC 12B

如图，一个容器的底是 $1 \times 1$ 的正方形，顶部是敞开的 $3 \times 3$ 正方形，四个侧面是全等的梯形。从容器空着开始，一根以恒定流速出水的水管用 $35$ 分钟把水注到梯形的中位线处。注满容器的剩余部分还要多少分钟？

习题 36.10.11

AMC 12

设 $ABCD$ 是一个长方形， $\overline{DM}$ 是一条垂直于平面 $ABCD$ 的线段。已知 $\overline{DM}$ 的长度是整数，并且 $\overline{MA}$ 、 $\overline{MC}$ 、 $\overline{MB}$ 的长度（按这个顺序）是连续的正奇数。棱锥 $MABCD$ 的体积是多少？

过关检测（第 36.7 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

36.80%

复杂多面体的体积

在本节中，你将能够 求出由熟悉的部件拼成的立体的体积：棱锥、棱柱和切掉的角。

把 6 个三角形绕着一个六边形折起来。顶点落在哪里？

大多数“奇怪”的立体，其实就是棱锥、棱柱或长方体，再加上或切掉一些部分。先用直角三角形求出高，再对每一部分用 $\frac13 \cdot \text{底面积} \cdot \text{高}$ 。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 把“展开”滑块调回 0%。三角形的尖端什么时候会合到一起？
试一试： 尖端在中心正上方会合。哪个直角三角形给出高？
试一试： 把“侧棱 b”调小，接近 a。高和体积会怎样变化？

看例题先预测，再揭晓

例 36.1

AMC 10

一个边长为 $6$ 的正六边形，每条边上都接着一个等腰三角形。每个等腰三角形都有两条边长为 $8$ 。把这些等腰三角形折起来，做成一个以这个六边形为底面的棱锥。这个棱锥的体积是多少？

1
把 6 个三角形向上折，直到它们的尖端会合。顶点和六边形相比在什么位置？

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竞赛角真实竞赛题

习题 36.10.21（补充题）

AMC 12

这道题在书中还以 36.1 的编号出现。

一个边长为 $6$ 的正六边形，每条边上都接着一个等腰三角形。每个等腰三角形都有两条边长为 $8$ 。把这些等腰三角形折起来，做成一个以这个六边形为底面的棱锥。这个棱锥的体积是多少？

习题 36.10.9

AMC 10A

在边长为 $1$ 的正方形四周接上 4 个边长为 $1$ 的正六边形，做成一个碗。如图，相邻六边形的边重合。把 4 个六边形最上面的 8 个顶点（位于碗口上）连起来，得到一个八边形。这个八边形的面积是多少？

习题 36.10.12

AMC 12A

下图中五面体的底面是一个 $13 \times 8$ 的长方形，它的侧面是两个底边长 $8$ 、两腰长 $13$ 的等腰三角形，以及两个上下底长 $7$ 和 $13$ 、两腰长 $13$ 的等腰梯形。这个五面体的体积是多少？

习题 36.10.38（补充题）

AIME

图中立体的底面是边长为 $s$ 的正方形。上面的棱与底面平行，长为 $2s$ 。其余各棱长都是 $s$ 。已知 $s = 6\sqrt2$ ，这个立体的体积是多少？

过关检测（第 36.8 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

36.90%

截面

在本节中，你将能够 过立体的各个中心截开，解出得到的平面图。

过各个中心截开，立体问题就变成了平面问题。

球与球相切、球与平面相切：过它们的球心截开，每个球都变成半径相同的圆。相切的两个球，球心距离是 $r_1 + r_2$ 。

注意：

用到球心距离为 $d$ 的平面去截球，截面是半径为 $\sqrt{R^2 - d^2}$ 的圆。这一个直角三角形就能解决大多数 “球与平面”的问题。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 平面经过三条棱的中点，截出一个正六边形。改变“点 1”，看看截面形状怎样变化。
试一试： 把三个点设为 E、BF 的中点和 C。截面是什么形状？检查它的对角线。
试一试： 试试与同一个顶点相邻的三个顶点，比如 B、D 和 E。得到的是什么三角形？

看例题先预测，再揭晓

例 36.2

AIME

把 8 个半径为 $100$ 的球放在一个平面上，使每个球都与另外两个球相切，并且它们的球心是一个正八边形的顶点。再把第 9 个球放在这个平面上，使它与另外 8 个球都相切。最后这个球的半径是 $a + b\sqrt{c}$ ，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是正整数，且 $c$ 不能被任何质数的平方整除。求 $a + b + c$ 。

1
从上往下看。8 个球心在哪里？相邻两个球心相距多远？

先预测一下：
你的预测

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例 36.3

AIME

一个高为 $h$ 的直棱柱，底面是边长为 $12$ 的正六边形。棱柱的一个顶点 $A$ 和与它相邻的三个顶点构成一个三棱锥的四个顶点。这个三棱锥位于棱柱底面内的那个面，与不含 $A$ 的那个面所成的二面角（两个平面之间的夹角）为 $60$ 度。求 $h^2$ 。

1
$A$ 的三个相邻顶点是底面上的 $B$ 、 $F$ ，以及 $A$ 正上方的 $A'$ 。三棱锥的哪个面在底面内？哪个面不含 $A$ ？

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例 36.4

AMC 10

一个球心为 $O$ 的球，半径为 $6$ 。一个边长为 $15$ 、 $15$ 、 $24$ 的三角形放在空间中，使它的每条边都与球相切。 $O$ 到这个三角形所在平面的距离是多少？

1
每条边都与球切于一点。三角形所在的平面从球上截出什么？它和三角形有什么关系？

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例 36.5

AMC 10

在一个底面半径为 $5$ 、高为 $12$ 的直圆锥内，有三个半径都为 $r$ 的全等的球。每个球都与另外两个球相切，也与圆锥的底面和侧面相切。 $r$ 是多少？

1
从上往下看。三个球心都在高度 $r$ 处。它们组成什么图形？边长是多少？

先预测一下：
点击一个选项，或输入它的字母（A–E）。

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例 36.6

AMC 12

一个 $4 \times 4 \times h$ 的长方体盒子里装着一个半径为 $2$ 的球和 8 个半径为 $1$ 的小球。每个小球都与盒子的三个面相切，大球与每个小球都相切。 $h$ 是多少？

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把盒子的一个角放在原点。这个角里的小球，球心在哪里？

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竞赛角真实竞赛题

习题 36.10.3

AMC 8

在正方体 $ABCDEFGH$ 中， $C$ 和 $E$ 是相对的顶点， $J$ 和 $I$ 分别是线段 $\overline{FB}$ 和 $\overline{HD}$ 的中点。设 $R$ 是截面 $EJCI$ 的面积与正方体一个面的面积之比。 $R^2$ 是多少？

习题 36.10.24（补充题）

AMC 10

如图，一个棱长为 $1$ 的正方体被一个平面截开，这个平面经过两个相对的顶点 $A$ 和 $C$ ，以及两条相对棱（都不含 $A$ 或 $C$ ）的中点 $B$ 和 $D$ 。四边形 $ABCD$ 的面积是多少？

习题 36.10.41（补充题）

AMC 10

三个两两相切、半径为 $1$ 的球放在一个水平面上。一个半径为 $2$ 的球放在它们上面。水平面到大球顶端的距离是多少？

习题 36.10.30（补充题）

AMC 10/12

6 个半径为 $1$ 的球的球心位于一个边长为 $2$ 的正六边形的顶点上。这 6 个球都与一个更大的球内切，大球的球心就是六边形的中心。第 8 个球与这 6 个小球都外切，并与大球内切。第 8 个球的半径是多少？

习题 36.10.31（补充题）

AMC 10

如图，一个球内切于一个直圆台。圆台的体积是球体积的两倍。圆台下底半径与上底半径之比是多少？

习题 36.10.44（补充题）

AIME挑战

如下图标记的正方体 $ABCDEFGH$ 棱长为 $1$ ，被一个经过顶点 $D$ 以及 $\overline{AB}$ 和 $\overline{CG}$ 的中点 $M$ 和 $N$ 的平面截开。这个平面把正方体分成两个立体。较大立体的体积可以写成 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 和 $q$ 是互质的正整数。求 $p + q$ 。

过关检测（第 36.9 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

36.10

练习题

在本节中，你将能够 在一道竞赛题中综合运用本章的工具。

综合练习：选对公式，找出隐藏的直角三角形，或者把立体截开。

本章的大部分练习题都放在用到它们的那一节里。最后这道题综合了两个想法：面的中心和 $\frac13$ 法则。

竞赛角真实竞赛题

习题 36.10.34（补充题）

AMC 10

把单位正方体相邻各面的中心连起来，得到一个正八面体。这个正八面体的体积是多少？