多边形：全部习题

把一根铁丝剪成两段，一段长 $a$，另一段长 $b$。长为 $a$ 的那段弯成一个等边三角形，长为 $b$ 的那段弯成一个正六边形。三角形和六边形的面积相等。$\frac{a}{b}$ 是多少？

设 $ABCDEF$ 是等角六边形。直线 $AB, CD,$ 和 $EF$ 围成一个面积为 $192\sqrt{3}$ 的三角形，直线 $BC, DE,$ 和 $FA$ 围成一个面积为 $324\sqrt{3}$ 的三角形。六边形 $ABCDEF$ 的周长可以表示为 $m + n\sqrt{p}$，其中 $m, n,$ 和 $p$ 是正整数，且 $p$ 不能被任何质数的平方整除。$m + n + p$ 是多少？

两个圆位于正六边形 $ABCDEF$ 的外部。第一个圆与 $\overline{AB}$ 相切，第二个圆与 $\overline{DE}$ 相切。两个圆都与直线 $BC$ 和 $FA$ 相切。第二个圆的面积与第一个圆的面积之比是多少？

下图由 $11$ 条线段组成，每条线段的长都是 $2$。五边形 $ABCDE$ 的面积可以写成 $\sqrt{m} + \sqrt{n}$，其中 $m$ 和 $n$ 是正整数。$m + n$ 是多少？

在正六边形 $ABCDEF$ 中，点 $W$、$X$、$Y$、$Z$ 分别取在边 $\overline{BC}$、$\overline{CD}$、$\overline{EF}$、$\overline{FA}$ 上，使得直线 $AB$、$ZW$、$YX$、$ED$ 互相平行且间距相等。六边形 $WCXYFZ$ 的面积与六边形 $ABCDEF$ 的面积之比是多少？

6 块边长为 $1$ 单位的正六边形积木放在一个正六边形框内。如下图所示，每块积木都靠着框的一条内边，并且与另外两块积木对齐。框的任意一个角到最近的积木顶点的距离都是 $\frac{3}{7}$ 单位。框内没有被积木占据的区域面积是多少？

从边长为 $2000$ 的正方形的每个角上切掉一个等腰直角三角形，得到一个正八边形。这个八边形每条边的长是多少？

Spot 的狗屋底面是每边长 1 码的正六边形。它被一根 2 码长的绳子拴在一个顶点上。Spot 能到达的狗屋外部区域的面积是多少平方码？

等边 $\triangle ABC$ 的边长是 $1$，正方形 $ABDE$、$BCHI$、$CAFG$ 都在三角形外侧。六边形 $DEFGHI$ 的面积是多少？

Andrea 在一个正五边形内作内切圆，又作它的外接圆，然后计算两个圆之间区域的面积。Bethany 对一个正七边形（7 条边）做了同样的事。两个区域的面积分别是 $A$ 和 $B$。每个多边形的边长都是 $2$。下列哪一项是正确的？

等角六边形 $ABCDEF$ 的边长为 $AB = CD = EF = 1$，$BC = DE = FA = r$。$\triangle ACE$ 的面积是六边形面积的 $70\%$。$r$ 的所有可能值之和是多少？

设 $\triangle PQR$ 是一个三角形，$\angle P = 75^\circ$，$\angle Q = 60^\circ$。在 $\triangle PQR$ 内画一个边长为 $1$ 的正六边形 $ABCDEF$，使得边 $\overline{AB}$ 在 $\overline{PQ}$ 上，边 $\overline{CD}$ 在 $\overline{QR}$ 上，并且其余顶点中有一个在 $\overline{RP}$ 上。存在正整数 $a, b, c,$ 和 $d$，使得 $\triangle PQR$ 的面积可以表示为 $\frac{a+b\sqrt{c}}{d}$ 的形式，其中 $a$ 和 $d$ 互质，且 $c$ 不能被任何质数的平方整除。求 $a+b+c+d$。

设 $ABCDEF$ 是等角六边形，$AB = 6$，$BC = 8$，$CD = 10$，$DE = 12$。用 $d$ 表示能放进这个六边形的最大圆的直径。求 $d^2$。