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AMC 10/12
几何 · 第 35 章

多边形

正六边形、正八边形和正五边形里都藏着更简单的图形：六个等边三角形、切掉四个角的正方形，还有黄金比。

这一章讲什么？
你需要先会
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35.00%

多边形的角

在本节中，你将能够 利用沿着边走一圈正好转 360° 这个事实，求出任意多边形的内角和，以及正多边形的每个角。

沿着任意一个多边形走一圈，你最后面朝的方向和出发时一样。你恰好转了一整圈：360∘360^\circ，不管它有多少个角。

本章的每一条角度规则都来自这一个事实。正 nn 边形在每个顶点转的角度都相同，所以每个外角是 360∘n\frac{360^\circ}{n}，每个内角是 180∘180^\circ 减去它。

这些规则你在第 29 章已经见过。在这里它们是出发点：六边形、八边形和五边形各自的技巧都建立在它们之上。

注意：已知内角时，先求外角：180∘−156∘=24∘180^\circ - 156^\circ = 24^\circ，所以有 36024=15\frac{360}{24} = 15 条边。

动手探索先玩，再学公式

正六边形：内角和是 (6 − 2) × 180° = 720°，每个内角 120°，每个外角 360° ÷ 6 = 60°

边数6
内角和 = 720°

每个内角： 720° ÷ 6 = 120°
每个外角： 360° ÷ 6 = 60°

沿着边走一圈。每到一个顶点，你就转过一个外角。

正六边形：内角和是 720°，每个内角 120°。外角 60°。

认识概念

定理 35.0.1

对于有 nn 条边的多边形：

内角和=(n−2)⋅180∘\text{内角和} = (n-2)\cdot 180^\circ
正多边形的内角=(n−2)n⋅180∘\text{正多边形的内角} = \frac{(n-2)}{n}\cdot 180^\circ
正多边形的外角=360∘n\text{正多边形的外角} = \frac{360^\circ}{n}

事实 35.0.2 · 重要的内角

最常见的正多边形的内角：

边数 内角
3 60∘60^\circ
4 90∘90^\circ
5 108∘108^\circ
6 120∘120^\circ
8 135∘135^\circ
9 140∘140^\circ
10 144∘144^\circ

过关检测（第 35.0 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

1212 边形的内角和是多少度？

2

一个正多边形的每个外角都是 24∘24^\circ。它有几条边？

3

一个正多边形的每个内角都是 160∘160^\circ。它有几条边？

35.10%

六边形

在本节中，你将能够 把正六边形切成 6 个等边三角形，求出它的面积和对角线，并处理只有各角相等的六边形。

正六边形就是围成一圈的 6 个等边三角形。认出这一圈，几乎每道六边形题都变成了等边三角形题。

把中心和 6 个顶点连起来。每个三角形在中心处的角是 60∘60^\circ，而且有两条边相等，所以它是等边三角形。它的边长就是六边形的边长 ss，而长对角线是两条这样的边连成一条直线。

等角六边形的每个角都是 120∘120^\circ，但边长可以不同。把边隔一条延长一条，三个角上就补出了等边三角形：这个六边形变成了一个大等边三角形切掉三个角。

注意：在等角六边形中，对边互相平行，而且后两条边由前四条边决定。

动手探索先玩，再学公式

正六边形，边长 2：6 个三角形 × (√3/4)·2² = 6√3 ≈ 10.39

边长 s2
面积 ≈ 10.39 =332⋅22= \tfrac{3\sqrt3}{2}\cdot 2^2

6 个三角形 × (√3/4)·2² = 6√3

6 个三角形 × (√3/4)·2² = 6√3 ≈ 10.39

认识概念

定理 35.1.1 · 正六边形

对于边长为 ss 的正六边形：

内角和=(6−2)⋅180∘=720∘\text{内角和} = (6-2)\cdot 180^\circ = 720^\circ
内角=(6−2)6⋅180∘=120∘\text{内角} = \frac{(6-2)}{6}\cdot 180^\circ = 120^\circ
外角=360∘6=60∘\text{外角} = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ
面积=6⋅34s2\text{面积} = 6\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}s^2
长对角线=2s\text{长对角线} = 2s

看例题先预测，再揭晓

例 35.1

AMC 10

如图，6 个正六边形围绕着一个边长为 11 的正六边形。△ABC\triangle ABC 的面积是多少？

几何图形 (总数在例题最后一步揭晓)

图形：六边形；三角形 ABC。

  1. 1

    设 OO 是中间那个六边形的中心。从 OO 沿直线走到 AA。OAOA 有多长？

    先预测一下：
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例 35.2

AIME

在凸六边形 ABCDEFABCDEF 中，六条边都相等，∠A\angle A 和 ∠D\angle D 是直角，∠B,∠C,∠E,\angle B, \angle C, \angle E, 和 ∠F\angle F 都相等。这个六边形区域的面积是 2116(2+1)2116(\sqrt{2}+1)。求 ABAB。

几何图形 (总数在例题最后一步揭晓)

图形：六边形 ABCDEF；A 处的直角；D 处的直角。

  1. 1

    六个角的和是 720∘720^\circ。其中两个是 90∘90^\circ，另外四个相等。这四个角每个多大？

    先预测一下：
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例 35.3

AIME

一个六边形内接于一个圆，它的边长依次是 22,22,20,22,22,22, 22, 20, 22, 22, 和 2020。这个圆的半径可以写成 p+qp + \sqrt{q}，其中 pp 和 qq 是正整数。求 p+qp + q。

几何图形 (总数在例题最后一步揭晓)

图形：以 O 为圆心的圆；六边形 ABCDEF；AB = 22；BC = 22；CD = 20；DE = 22；EF = 22；FA = 20。

  1. 1

    把圆心 OO 和每个顶点连起来。设每条长为 2222 的边所对的圆心角是 2α2\alpha，每条长为 2020 的边所对的圆心角是 2β2\beta。六个圆心角拼满整个圆。2α+β2\alpha + \beta 是多少度？

    先预测一下：
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自己做

习题 35.4.9（补充题）

AMC 10

等边 △ABC\triangle ABC 的边长是 11，正方形 ABDEABDE、BCHIBCHI、CAFGCAFG 都在三角形外侧。六边形 DEFGHIDEFGHI 的面积是多少？

竞赛角真实竞赛题

习题 35.4.1

AMC 10

把一根铁丝剪成两段，一段长 aa，另一段长 bb。长为 aa 的那段弯成一个等边三角形，长为 bb 的那段弯成一个正六边形。三角形和六边形的面积相等。ab\frac{a}{b} 是多少？

习题 35.4.8（补充题）

AMC 10

Spot 的狗屋底面是每边长 1 码的正六边形。它被一根 2 码长的绳子拴在一个顶点上。Spot 能到达的狗屋外部区域的面积是多少平方码？

习题 35.4.5

AMC 10

在正六边形 ABCDEFABCDEF 中，点 WW、XX、YY、ZZ 分别取在边 BC‾\overline{BC}、CD‾\overline{CD}、EF‾\overline{EF}、FA‾\overline{FA} 上，使得直线 ABAB、ZWZW、YXYX、EDED 互相平行且间距相等。六边形 WCXYFZWCXYFZ 的面积与六边形 ABCDEFABCDEF 的面积之比是多少？

习题 35.4.2

AMC 10

这道题在书中还以 29.2.1 的编号出现。

设 ABCDEFABCDEF 是等角六边形。直线 AB,CD,AB, CD, 和 EFEF 围成一个面积为 1923192\sqrt{3} 的三角形，直线 BC,DE,BC, DE, 和 FAFA 围成一个面积为 3243324\sqrt{3} 的三角形。六边形 ABCDEFABCDEF 的周长可以表示为 m+npm + n\sqrt{p}，其中 m,n,m, n, 和 pp 是正整数，且 pp 不能被任何质数的平方整除。m+n+pm + n + p 是多少？

等角六边形 ABCDEF（每个角都是 120°），边长 14.76, 6.48, 14.76, 6.48, 14.76, 6.48; 周长 ?; 直线 AB、CD、EF 围成边长为 27.71 的等边三角形; 直线 BC、DE、FA 围成边长为 36 的等边三角形

ABCDEF
周长 = ? (例题最后一步揭晓)
三角形 (AB、CD、EF): 边长 27.71, 面积 332.55
三角形 (BC、DE、FA): 边长 36, 面积 561.18

等角六边形 ABCDEF（每个角都是 120°），边长 14.76, 6.48, 14.76, 6.48, 14.76, 6.48; 周长 ?; 直线 AB、CD、EF 围成边长为 27.71 的等边三角形; 直线 BC、DE、FA 围成边长为 36 的等边三角形

习题 35.4.11（补充题）

AMC 10/12

等角六边形 ABCDEFABCDEF 的边长为 AB=CD=EF=1AB = CD = EF = 1，BC=DE=FA=rBC = DE = FA = r。△ACE\triangle ACE 的面积是六边形面积的 70%70\%。rr 的所有可能值之和是多少？

等角六边形 ABCDEF（每个角都是 120°），边长 1, 5.83, 1, 5.83, 1, 5.83; 周长 ?; 三角形 ACE 占六边形的 ?%

ABCDEF15.8315.8315.83
周长 = ? (例题最后一步揭晓)
[ACE] ÷ [六边形] = ? (例题最后一步揭晓)

等角六边形 ABCDEF（每个角都是 120°），边长 1, 5.83, 1, 5.83, 1, 5.83; 周长 ?; 三角形 ACE 占六边形的 ?%

习题 35.4.13（补充题）

AIME

设 ABCDEFABCDEF 是等角六边形，AB=6AB = 6，BC=8BC = 8，CD=10CD = 10，DE=12DE = 12。用 dd 表示能放进这个六边形的最大圆的直径。求 d2d^2。

等角六边形 ABCDEF（每个角都是 120°），边长 6, 8, 10, 12, 2, 16; 周长 ?; 能放进去的最大圆直径为 ?

ABCDEF681012216
周长 = ? (例题最后一步揭晓)
对边之间的距离: ? (例题最后一步揭晓) · 直径 = ? (例题最后一步揭晓)

等角六边形 ABCDEF（每个角都是 120°），边长 6, 8, 10, 12, 2, 16; 周长 ?; 能放进去的最大圆直径为 ?

过关检测（第 35.1 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

一个正六边形的边长是 44。它的面积是多少？

2

一个正六边形的长对角线是 1010。这个六边形的周长是多少？

3

等边 △ABC\triangle ABC 的边长是 11，正方形 ABDEABDE、BCHIBCHI、CAFGCAFG 都在三角形外侧。六边形 DEFGHIDEFGHI 的面积是多少？

35.20%

八边形

在本节中，你将能够 把正八边形看成切掉四个角的正方形，用它求出边长和面积。

从正方形上剪掉四个相同的角。只有剪掉某一个恰好的大小时，8 条边才全都相等，得到一个正八边形。

剪掉的每个角都是等腰直角三角形。如果八边形的边长是 ss，角上三角形的直角边是 s2\frac{s}{\sqrt2}，所以正方形的边长是 s+s2=s(1+2)s + s\sqrt2 = s(1+\sqrt2)。

于是八边形的面积是正方形减去四个小三角形：2(1+2)s22(1+\sqrt2)s^2。以它的顶点为顶点画出的长方形和正方形，也可以在同一张图里轻松量出来。

注意：正八边形的内角是 135∘=90∘+45∘135^\circ = 90^\circ + 45^\circ：正是这个 45∘45^\circ，使得四个角都是 45°-45°-90° 三角形。

动手探索先玩，再学公式

10 × 10 的正方形剪掉直角边为 2.00 的四个角：斜边 2.83，直边 6.00，面积 92.00

正方形边长10
斜边 x2=2.83x\sqrt2 = 2.83 · 直边 L−2x=6.00L-2x = 6.00
面积 = 92.00
还不是正八边形：边长不相等。

斜边 2.83，直边 6.00，面积 92.00

认识概念

定理 35.2.1 · 正八边形

对于边长为 ss 的正八边形：

内角和=(8−2)⋅180∘=1080∘\text{内角和} = (8-2)\cdot 180^\circ = 1080^\circ
内角=(8−2)8⋅180∘=135∘\text{内角} = \frac{(8-2)}{8}\cdot 180^\circ = 135^\circ
外角=360∘8=45∘\text{外角} = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ
面积=2(1+2)s2\text{面积} = 2(1+\sqrt{2})s^2

看例题先预测，再揭晓

例 35.4

AMC 10

正八边形 ABCDEFGHABCDEFGH 的面积是 1 平方单位。长方形 ABEFABEF 的面积是多少？

由正方形得八边形 (总数在例题最后一步揭晓)

正方形边长10
ABCDEFGH
斜边 x2=4.14x\sqrt2 = 4.14 · 直边 L−2x=4.14L-2x = 4.14
面积 = 82.84
2(1 + √2) · 4.14² = 82.84
长方形 ABEF ÷ 八边形 = ? (例题最后一步揭晓)
8 条边都相等：是正八边形！

斜边 4.14，直边 4.14，面积 82.84，是正八边形; 长方形 ABEF ÷ 八边形 = ?

  1. 1

    把八边形看成切掉四个角的正方形。每个角都是等腰直角三角形，它的斜边是八边形的一条边 ss。每条直角边有多长？

    先预测一下：
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例 35.6

AMC 12

正八边形 ABCDEFGHABCDEFGH 的面积是 nn。设四边形 ACEGACEG 的面积是 mm。mn\dfrac{m}{n} 是多少？

由正方形得八边形 (总数在例题最后一步揭晓)

正方形边长10
ABCDEFGH
斜边 x2=4.14x\sqrt2 = 4.14 · 直边 L−2x=4.14L-2x = 4.14
面积 = 82.84
2(1 + √2) · 4.14² = 82.84
正方形 ACEG ÷ 八边形 = ? (例题最后一步揭晓)
8 条边都相等：是正八边形！

斜边 4.14，直边 4.14，面积 82.84，是正八边形; 正方形 ACEG ÷ 八边形 = ?

  1. 1

    只有比值才重要，所以取边长为 11。八边形的面积 nn 是多少？

    先预测一下：
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自己做

习题 35.4.7（补充题）

AMC 10

从边长为 20002000 的正方形的每个角上切掉一个等腰直角三角形，得到一个正八边形。这个八边形每条边的长是多少？

过关检测（第 35.2 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

一个正八边形的边长是 22。它的面积是多少？

2

把边长为 2+22+\sqrt2 的正方形切掉四个角，得到一个正八边形。这个八边形的边长是多少？

3

从边长为 20002000 的正方形的每个角上切掉一个等腰直角三角形，得到一个正八边形。这个八边形每条边的长是多少？

35.30%

五边形

在本节中，你将能够 利用正五边形内部的 36°-72°-72° 三角形，用黄金比 φ 表示各种长度。

画出正五边形的全部 5 条对角线，就出现了一颗五角星。其中每个三角形都只有两种形状，而它们藏着黄金比。

正五边形的每个角都是 108∘108^\circ。从一个顶点出发的两条对角线把这个角分成三个 36∘36^\circ 的角，所以三角形的角是 36∘,72∘,72∘36^\circ, 72^\circ, 72^\circ 或 36∘,36∘,108∘36^\circ, 36^\circ, 108^\circ。

相似的 36°-72°-72° 三角形给出关键的比：对角线是边长的 φ=1+52≈1.618\varphi = \frac{1+\sqrt5}{2} \approx 1.618 倍。这个数满足 φ2=φ+1\varphi^2 = \varphi + 1。

动手探索先玩，再学公式

正五边形 ABCDE 和全部五条对角线；AB = 1；对角线 ÷ 边 = φ ≈ 1.618

ABCDEFGHIJ

点一种线段来量它的长度。

AB = 1
AC ÷ CD = 1.618 = φ

正五边形 ABCDE 和全部五条对角线；AB = 1；对角线 ÷ 边 = φ ≈ 1.618

看例题先预测，再揭晓

例 35.5

AMC 10

在下图中，ABCDEABCDE 是正五边形，AG=1AG = 1。FG+JH+CDFG + JH + CD 是多少？

正五边形与五角星 (总数在例题最后一步揭晓)

ABCDEFGHIJ
AG = 1
AC ÷ CD = 1.618 = φ

正五边形 ABCDE 和全部五条对角线；AG = 1；对角线 ÷ 边 = φ ≈ 1.618

  1. 1

    正五边形的每个角都是 108∘108^\circ，从 AA 出发的两条对角线把它分成三个 36∘36^\circ 的角。三角形 AFGAFG 的三个角是多少？

    先预测一下：
    点击一个选项，或输入它的字母（A–E）。
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竞赛角真实竞赛题

习题 35.4.4

AMC 10/12

下图由 1111 条线段组成，每条线段的长都是 22。五边形 ABCDEABCDE 的面积可以写成 m+n\sqrt{m} + \sqrt{n}，其中 mm 和 nn 是正整数。m+nm + n 是多少？

习题 35.4.10（补充题）

AMC 12

Andrea 在一个正五边形内作内切圆，又作它的外接圆，然后计算两个圆之间区域的面积。Bethany 对一个正七边形（7 条边）做了同样的事。两个区域的面积分别是 AA 和 BB。每个多边形的边长都是 22。下列哪一项是正确的？

点击一个选项，或输入它的字母（A–E）。

过关检测（第 35.3 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

在正五边形 ABCDEABCDE 中，∠CAD\angle CAD 是多少度？

2

一个正五边形的边长是 22。每条对角线有多长？

3

在正五边形中，对角线的长是边长的 φ=1+52\varphi = \frac{1+\sqrt5}{2} 倍。φ2−φ\varphi^2 - \varphi 是多少？

35.4

练习题

在本节中，你将能够 把六边形、八边形和五边形的技巧综合起来，解更难的题。

综合多边形题：六边形旁边的相切圆，一圈六边形积木，还有塞进三角形里的六边形。

动手计算之前，先找出藏着的等边三角形、等腰直角三角形的角，或者 36°-72°-72° 的形状。

竞赛角真实竞赛题

习题 35.4.3

AMC 10

两个圆位于正六边形 ABCDEFABCDEF 的外部。第一个圆与 AB‾\overline{AB} 相切，第二个圆与 DE‾\overline{DE} 相切。两个圆都与直线 BCBC 和 FAFA 相切。第二个圆的面积与第一个圆的面积之比是多少？

点击一个选项，或输入它的字母（A–E）。

习题 35.4.6

AMC 10

6 块边长为 11 单位的正六边形积木放在一个正六边形框内。如下图所示，每块积木都靠着框的一条内边，并且与另外两块积木对齐。框的任意一个角到最近的积木顶点的距离都是 37\frac{3}{7} 单位。框内没有被积木占据的区域面积是多少？

习题 35.4.12（补充题）

AIME

设 △PQR\triangle PQR 是一个三角形，∠P=75∘\angle P = 75^\circ，∠Q=60∘\angle Q = 60^\circ。在 △PQR\triangle PQR 内画一个边长为 11 的正六边形 ABCDEFABCDEF，使得边 AB‾\overline{AB} 在 PQ‾\overline{PQ} 上，边 CD‾\overline{CD} 在 QR‾\overline{QR} 上，并且其余顶点中有一个在 RP‾\overline{RP} 上。存在正整数 a,b,c,a, b, c, 和 dd，使得 △PQR\triangle PQR 的面积可以表示为 a+bcd\frac{a+b\sqrt{c}}{d} 的形式，其中 aa 和 dd 互质，且 cc 不能被任何质数的平方整除。求 a+b+c+da+b+c+d。