数论杂题：全部习题

设

$x$ 的值是多少？

Megan 在高速公路上开车时，注意到里程表显示 $15951$（英里）。这个数是回文数：从前往后读和从后往前读都一样。$2$ 小时后，里程表显示的是下一个更大的回文数。在这 $2$ 小时里，她的平均速度是每小时多少英里？

回文数（例如 $83438$）是把各位数字倒过来后保持不变的数。数 $x$ 和 $x + 32$ 分别是三位回文数和四位回文数。$x$ 的各位数字之和是多少？

Zhou 老师把 $1$ 到 $225$ 的所有整数填进一个 $15$ 行 $15$ 列的方格表。他把 $1$ 放在正中间的方格（第八行第八列），然后按顺时针方向依次放入其他数，下图展示了其中一部分。从上往下数第二行中出现的最大数与最小数之和是多少？

如果对于集合中任意的元素 $x$ 和 $y$（不一定不同），$x + y$ 都不是集合中的元素，就称这个数集是无和集。例如，$\{1, 4, 6\}$ 和空集都是无和集，但 $\{2, 4, 5\}$ 不是。$\{1, 2, 3, \ldots, 20\}$ 的无和子集最多能有多少个元素？

设 $d(n)$ 表示能整除 $n$ 的正整数的个数（包括 $1$ 和 $n$）。例如，$d(1) = 1$，$d(2) = 2$，$d(12) = 6$。（这个函数叫作因数个数函数。）设

存在唯一的正整数 $N$，使得对所有正整数 $n \ne N$ 都有 $f(N) > f(n)$。$N$ 的各位数字之和是多少？

在 $1000$ 和 $10{,}000$ 之间随机选一个回文数。它能被 $7$ 整除的概率是多少？

用数字 $2, 2, 3, 3, 5, 5, 5$ 可以组成多少个 $7$ 位回文数（从后往前读和从前往后读都一样的数）？

Alice 和 Bob 用一堆 $n$ 枚硬币玩游戏。每一轮，玩家可以从这堆中取走 $1$ 枚或 $4$ 枚硬币，Alice 先取。取走最后一枚硬币的玩家获胜。在小于或等于 $2024$ 的 $n$ 中，有多少个值使得无论 Alice 怎么取，Bob 都有必胜策略？

回文数是指写成十进制（$10$ 进制）且首位不为 0 时，从前往后读和从后往前读都一样的非负整数。从所有 $6$ 位回文数中等可能地随机选一个 $n$。$\dfrac{n}{11}$ 也是回文数的概率是多少？

和

的个位数字是多少？（回忆一下：$\lfloor x \rfloor$ 表示小于或等于 $x$ 的最大整数。）

Joey、Chloe 和他们的女儿 Zoe 生日是同一天。Joey 比 Chloe 大 $1$ 岁，而 Zoe 今天正好 $1$ 岁。在接下来的生日中，Chloe 的年龄是 Zoe 年龄的整数倍的情况共有 $9$ 次，今天是其中第一次。下一次 Joey 的年龄是 Zoe 年龄的倍数时，Joey 年龄的两位数字之和是多少？

九十四块砖，每块的尺寸都是 $4'' \times 10'' \times 19''$，要一块叠一块地堆成一座 $94$ 块砖高的塔。每块砖可以任意摆放，使它给塔的总高度贡献 $4''$、$10''$ 或 $19''$。用上全部九十四块砖，可以得到多少种不同的塔高？

设 $N$ 是正整数 $7777\ldots777$，它是一个各位数字都是 $7$ 的 $313$ 位数。设 $f(r)$ 是 $N$ 的 $r$ 次方根的首位数字。

等于多少？

构造一个数阵，最上面一行是数 $-1 \quad 3 \quad 1$。每一对相邻的数相加，得到下一行的一个数。每一行都以 $-1$ 开头、以 $1$ 结尾。

如果一直这样继续下去，某一行的和将是 $12{,}288$。在这一行中，从左数第三个数是多少？

求所有满足下列条件的正整数 $n$ 之和：在面值为 $5$、$n$ 和 $n + 1$ 分的邮票都无限供应时，$91$ 分是凑不出的最大邮资。