数论 · 第 28 章

数论杂题

回文数、硬币问题和一组数论小技巧：把数两两配对，求两种硬币凑不出的最大金额，在数字和方格中发现规律。

这一章讲什么？

28.1 回文数
28.2 麦乐鸡定理
28.3 练习题

你需要先会

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28.10%

回文数

在本节中，你将能够 逐位构造回文数，并利用它们的位值求平均数、判断整除。

把 $101$ 和 $999$ 配对，再把 $111$ 和 $989$ 配对，然后是 $121$ 和 $979$ 。每一对的和都是 $1100$ ，所以每一对的平均数都是 $550$ 。这就是所有三位回文数的平均数，根本不用算一个很大的和。

回文数由它的前一半决定，后一半只是按镜像顺序照抄。所以三位回文数 $\overline{aba}$ 共有 $9 \cdot 10 = 90$ 个。

注意：把回文数按位值展开。 $\overline{aba} = 101a + 10b$ ， $\overline{abba} = 1001a + 110b$ 。因为 $1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13$ ， $110 = 10 \cdot 11$ ，所以每个四位回文数都是 $11$ 的倍数。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 打开“与它的补数配对”。改变各位数字：回文数 + 补数的和会变吗？那么平均数是多少？
试一试： 设成 4 位，检验能否被 11 整除。为什么 4 位回文数总能被 11 整除？打开“显示公式”，读一读位值展开。
试一试： 仍然是 4 位，改为检验 7。中间的数字取哪些值时能整除？

认识概念

定义 28.1.1 · 回文数

回文数是从前往后读和从后往前读都一样的数，例如 $777$ 、 $383$ 或 $15951$ 。

看例题先预测，再揭晓

例 28.1

AIME

求所有三位回文数的算术平均数。（回忆一下：回文数是从前往后读和从后往前读都一样的数，例如 $777$ 或 $383$ 。）

1
三位回文数的形式是 $\overline{aba}$ 。你要选 $a$ （不能是 $0$ ）和 $b$ 。三位回文数一共有多少个？

先预测一下：
你的预测

自己做

习题 28.3.2

AMC 10

Megan 在高速公路上开车时，注意到里程表显示 $15951$ （英里）。这个数是回文数：从前往后读和从后往前读都一样。 $2$ 小时后，里程表显示的是下一个更大的回文数。在这 $2$ 小时里，她的平均速度是每小时多少英里？

习题 28.3.3

AMC 10

回文数（例如 $83438$ ）是把各位数字倒过来后保持不变的数。数 $x$ 和 $x + 32$ 分别是三位回文数和四位回文数。 $x$ 的各位数字之和是多少？

习题 28.3.8（补充题）

AMC 10

用数字 $2, 2, 3, 3, 5, 5, 5$ 可以组成多少个 $7$ 位回文数（从后往前读和从前往后读都一样的数）？

竞赛角真实竞赛题

习题 28.3.7（补充题）

AMC 10/12

在 $1000$ 和 $10{,}000$ 之间随机选一个回文数。它能被 $7$ 整除的概率是多少？

位数4

除数7

点实线框可以改变数字。虚线框会照抄它的镜像位置。

1,001 = 7 × 143：能被 7 整除。

能被 7 整除的：? (例题最后一步揭晓) 个（共 90 个 4 位回文数）

9 × 10 = 90 个 4 位回文数

9 \times 10^{1} = 90

位值展开: $\overline{abba} = 1001a + 110b$

习题 28.3.10（补充题）

AMC 12

回文数是指写成十进制（ $10$ 进制）且首位不为 0 时，从前往后读和从后往前读都一样的非负整数。从所有 $6$ 位回文数中等可能地随机选一个 $n$ 。 $\dfrac{n}{11}$ 也是回文数的概率是多少？

位数6

除数11

点实线框可以改变数字。虚线框会照抄它的镜像位置。

123,321 = 11 × 11,211：能被 11 整除。

能被 11 整除的：900 个（共 900 个 6 位回文数）

9 × 10 × 10 = 900 个 6 位回文数

9 \times 10^{2} = 900

位值展开: $\overline{abccba} = 100001a + 10010b + 1100c$

过关检测（第 28.1 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

28.20%

麦乐鸡定理

在本节中，你将能够 求出两种面值凑不出的最大总数，并数出凑不出的总数有多少个。

你只有 $3$ 分和 $5$ 分的硬币。你能付 $8$ 、 $9$ 和 $10$ 分，之后的所有金额也都能付：再加一枚 $3$ 分就行。所以 $7$ 分是永远付不出的最大金额。

如果两种面值 $a$ 和 $b$ 没有公因数，那么凑不出的最大金额是 $ab - a - b$ 。一旦能连续凑出 $a$ 个金额，不断加 $a$ 就能得到更大的每一个金额。

注意：如果 $a$ 和 $b$ 有公因数，比如 $4$ 和 $6$ ，那么凑出的总数都是偶数。这时有无穷多个金额凑不出来，定理不适用。

本节最后一道例题是另一类数字谜题：先在小的情况中找出数字的规律。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 先预测用 3 和 5 凑不出的最大总数是多少，再标出来。然后按“标出能凑出的数”。
试一试： 数一数 3 和 5 凑不出的数有几个，再数 4 和 7 的。每次都是 (a − 1)(b − 1)/2 吗？
试一试： 在 Hamlet 镇，总数是 13h + 5c。把两种包装设为 13 和 5：41、47、59、61、66 中哪个凑不出来？

认识概念

定理 28.2.1 · 麦乐鸡定理

如果 $a$ 和 $b$ 是互质的正整数，那么不能写成 $a$ 与 $b$ 的非负倍数之和的最大整数是

ab - a - b.

而且，恰好有

\frac{(a - 1)(b - 1)}{2}

个正整数不能写成 $ma + nb$ （ $m$ 、 $n$ 为非负整数）的形式。

注 28.2.2

这个定理适用于“用 $3$ 分和 $5$ 分硬币凑不出的最大金额”这类问题。

看例题先预测，再揭晓

例 28.2

AMC 10

Hamlet 镇上每匹马对应 $3$ 个人，每头牛对应 $4$ 只羊，每个人对应 $3$ 只鸭子。Hamlet 镇上人、马、羊、牛和鸭子的总数不可能是下面哪个数？

(A) $41$
(B) $47$
(C) $59$
(D) $61$
(E) $66$

1
设有 $h$ 匹马和 $c$ 头牛，那么有 $3h$ 个人。每匹马对应多少只鸭子？

先预测一下：
你的预测

例 28.3

AMC 10

乘积 $(8)(888\ldots8)$ （其中第二个因数有 $k$ 位）是一个各位数字之和为 $1000$ 的整数。 $k$ 是多少？

(A) $901$
(B) $911$
(C) $919$
(D) $991$
(E) $999$

先试小的情况。

$k$	乘积	数字和
$1$	$8 \cdot 8 = 64$	$10$
$2$	$8 \cdot 88 = 704$	$11$
$3$	$8 \cdot 888 = 7104$	$12$
$4$	$8 \cdot 8888 = 71104$	$13$

$8 \cdot 88888$ 等于多少？

先预测一下：

竞赛角真实竞赛题

习题 28.3.13（补充题）

AIME

九十四块砖，每块的尺寸都是 $4'' \times 10'' \times 19''$ ，要一块叠一块地堆成一座 $94$ 块砖高的塔。每块砖可以任意摆放，使它给塔的总高度贡献 $4''$ 、 $10''$ 或 $19''$ 。用上全部九十四块砖，可以得到多少种不同的塔高？

习题 28.3.16（补充题）

AIME挑战

求所有满足下列条件的正整数 $n$ 之和：在面值为 $5$ 、 $n$ 和 $n + 1$ 分的邮票都无限供应时， $91$ 分是凑不出的最大邮资。

包装 a5

包装 b24

包装 c25

先预测：哪些数能凑出来？然后再标出来。

检查一个数11

11 不能用每包 5、24 和 25 个凑出

找出凑不出的最大数。

过关检测（第 28.2 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

邮票有 $4$ 分和 $7$ 分两种面值。凑不出的最大邮资是多少？

有多少个正整数不能写成 $5m + 8n$ （ $m, n$ 为非负整数）的形式？

在 Coinland，硬币面值为 $6$ 、 $10$ 和 $15$ 分。三种硬币没有公式，所以用下面的方格来做。不能恰好付清的最贵物品价格是多少？

28.3

练习题

在本节中，你将能够 在竞赛题中综合运用回文数、硬币问题、博弈和数字规律。

这些题没有一个共同的大思路，但有一个共同的习惯：先试小的情况，找出规律，再证明它。

在计算任何大数之前，先写出前几行、前几堆或前几个方格。螺旋、博弈和下取整求和都会重复出现某种规律，算几步就能看出来。

竞赛角真实竞赛题

习题 28.3.1

AMC 12B

设

2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{2}{3 + x}}} = \frac{144}{53}.

$x$ 的值是多少？

习题 28.3.4

AMC 10

Zhou 老师把 $1$ 到 $225$ 的所有整数填进一个 $15$ 行 $15$ 列的方格表。他把 $1$ 放在正中间的方格（第八行第八列），然后按顺时针方向依次放入其他数，下图展示了其中一部分。从上往下数第二行中出现的最大数与最小数之和是多少？

习题 28.3.5

AMC 10/12

如果对于集合中任意的元素 $x$ 和 $y$ （不一定不同）， $x + y$ 都不是集合中的元素，就称这个数集是无和集。例如， $\{1, 4, 6\}$ 和空集都是无和集，但 $\{2, 4, 5\}$ 不是。 $\{1, 2, 3, \ldots, 20\}$ 的无和子集最多能有多少个元素？

习题 28.3.6

AMC 12挑战

设 $d(n)$ 表示能整除 $n$ 的正整数的个数（包括 $1$ 和 $n$ ）。例如， $d(1) = 1$ ， $d(2) = 2$ ， $d(12) = 6$ 。（这个函数叫作因数个数函数。）设

f(n) = \frac{d(n)}{\sqrt[3]{n}}.

存在唯一的正整数 $N$ ，使得对所有正整数 $n \ne N$ 都有 $f(N) > f(n)$ 。 $N$ 的各位数字之和是多少？

习题 28.3.9（补充题）

AIME

Alice 和 Bob 用一堆 $n$ 枚硬币玩游戏。每一轮，玩家可以从这堆中取走 $1$ 枚或 $4$ 枚硬币，Alice 先取。取走最后一枚硬币的玩家获胜。在小于或等于 $2024$ 的 $n$ 中，有多少个值使得无论 Alice 怎么取，Bob 都有必胜策略？

习题 28.3.11（补充题）

AMC 10

和

\lfloor \sqrt{1} \rfloor + \lfloor \sqrt{2} \rfloor + \lfloor \sqrt{3} \rfloor + \cdots + \lfloor \sqrt{2025} \rfloor

的个位数字是多少？（回忆一下： $\lfloor x \rfloor$ 表示小于或等于 $x$ 的最大整数。）

习题 28.3.12（补充题）

AMC 10

这道题在书中还以 21.3.18 的编号出现。

Joey、Chloe 和他们的女儿 Zoe 生日是同一天。Joey 比 Chloe 大 $1$ 岁，而 Zoe 今天正好 $1$ 岁。在接下来的生日中，Chloe 的年龄是 Zoe 年龄的整数倍的情况共有 $9$ 次，今天是其中第一次。下一次 Joey 的年龄是 Zoe 年龄的倍数时，Joey 年龄的两位数字之和是多少？

习题 28.3.14（补充题）

AMC 10

设 $N$ 是正整数 $7777\ldots777$ ，它是一个各位数字都是 $7$ 的 $313$ 位数。设 $f(r)$ 是 $N$ 的 $r$ 次方根的首位数字。

f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6)

等于多少？

习题 28.3.15（补充题）

AMC 10

构造一个数阵，最上面一行是数 $-1 \quad 3 \quad 1$ 。每一对相邻的数相加，得到下一行的一个数。每一行都以 $-1$ 开头、以 $1$ 结尾。

\begin{array}{ccccccccc} & & -1 & & 3 & & 1 & & \\ & -1 & & 2 & & 4 & & 1 & \\ -1 & & 1 & & 6 & & 5 & & 1 \end{array}

如果一直这样继续下去，某一行的和将是 $12{,}288$ 。在这一行中，从左数第三个数是多少？