进制：全部习题

在 $10$ 进制中，数 $2013$ 的末位数字是 $3$。而在 $9$ 进制中，同一个数写作 $(2676)_{9}$，末位数字是 $6$。有多少个正整数 $b$，使 $2013$ 的 $b$ 进制表示的末位数字是 $3$？

十六进制（16 进制）数用数字 $0$ 到 $9$ 以及字母 $A$ 到 $F$ 来书写，字母表示 $10$ 到 $15$。在前 $1000$ 个正整数中，有 $n$ 个数的十六进制表示只含数字（不含字母）。$n$ 的各位数字之和是多少？

对每个正整数 $n$，设 $f(n)$ 为 $n$ 的四进制表示的各位数字之和，$g(n)$ 为 $f(n)$ 的八进制表示的各位数字之和。例如 $f(2020) = f(133210_{\text{4}}) = 10 = 12_{\text{8}}$，而 $g(2020) = 12_{\text{8}} \text{ 的数字和} = 3$。设 $N$ 是使 $g(n)$ 的十六进制表示不能只用数字 $0$ 到 $9$ 写出的最小的 $n$。求 $N$ 除以 $1000$ 的余数。

正整数 $N$ 的十一进制表示是 $\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{c}$，八进制表示是 $\underline{1}\,\underline{b}\,\underline{c}\,\underline{a}$，其中 $a$、$b$、$c$ 表示（不一定互不相同的）数字。求满足条件的最小的 $N$，用十进制表示。

下列哪个整数 $b$ 使 $b$ 进制数 $2021_b - 221_b$ 不能被 $3$ 整除？

设 $n$ 是正整数，$d$ 是一个数字，使得 $n$ 进制数 $\underline{32d}$ 的值等于 $263$，并且 $n$ 进制数 $\underline{324}$ 的值等于六进制数 $\underline{11d1}$ 的值。$n + d$ 等于多少？

设 $n$ 是正整数，$d$ 是一个数字，使得 $n$ 进制数 $\underline{32d}$ 的值等于 $263$，并且 $n$ 进制数 $\underline{324}$ 的值等于六进制数 $\underline{11d1}$ 的值。$n + d$ 等于多少？

下列哪个整数 $b$ 使 $b$ 进制数 $2021_b - 221_b$ 不能被 $3$ 整除？

小于 $2019$ 的正整数的七进制表示中，各位数字之和最大可能是多少？

在下面的等式中，$A$ 和 $B$ 是连续的正整数，$A$、$B$ 和 $A + B$ 都表示进制：

$A + B$ 等于多少？

数 $n$ 在 $14$ 进制下可以写成 $\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{c}$，在 $15$ 进制下可以写成 $\underline{a}\,\underline{c}\,\underline{b}$，在 $6$ 进制下可以写成 $\underline{a}\,\underline{c}\,\underline{a}\,\underline{c}$，其中 $a > 0$。求 $n$ 的十进制表示。

如果正整数 $N$ 的 $7$ 进制表示的各位数字组成的 $10$ 进制数恰好是 $N$ 的两倍，就称 $N$ 为 $\textit{7-10 双倍数}$。例如，$51$ 是一个 7-10 双倍数，因为它的 $7$ 进制表示是 $102$。最大的 7-10 双倍数是多少？

设 $N$ 是满足以下条件的正整数的个数：不超过 $2003$，并且 $2$ 进制表示中 $1$ 的个数多于 $0$ 的个数。求 $N$ 除以 $1000$ 的余数。

一个有理数用八进制写作 $\underline{a}\,\underline{b}\,.\,\underline{c}\,\underline{d}$，其中所有数字都不为零。同一个数用十二进制写作 $\underline{b}\,\underline{b}\,.\,\underline{b}\,\underline{a}$。求十进制数 $\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{c}$。

求不超过 $2017$、且三进制表示中不含数字 $0$ 的正整数的个数。

数 $n$ 在 $14$ 进制下可以写成 $\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{c}$，在 $15$ 进制下可以写成 $\underline{a}\,\underline{c}\,\underline{b}$，在 $6$ 进制下可以写成 $\underline{a}\,\underline{c}\,\underline{a}\,\underline{c}$，其中 $a > 0$。求 $n$ 的十进制表示。

求所有满足以下条件的正整数 $b < 1000$ 之和：$b$ 进制整数 $36_b$ 是完全平方数，且 $b$ 进制整数 $27_b$ 是完全立方数。

正整数 $N$ 的十一进制表示是 $\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{c}$，八进制表示是 $\underline{1}\,\underline{b}\,\underline{c}\,\underline{a}$，其中 $a$、$b$、$c$ 表示（不一定互不相同的）数字。求满足条件的最小的 $N$，用十进制表示。

存在唯一的 $r$ 个非负整数 $n_1 > n_2 > \cdots > n_r$ 和唯一的 $r$ 个整数 $a_k$（$1 \le k \le r$），每个 $a_k$ 为 $1$ 或 $-1$，使得

求 $n_1 + n_2 + \cdots + n_r$。

对每个正整数 $n$，设 $f(n)$ 为 $n$ 的四进制表示的各位数字之和，$g(n)$ 为 $f(n)$ 的八进制表示的各位数字之和。例如 $f(2020) = f(133210_{\text{4}}) = 10 = 12_{\text{8}}$，而 $g(2020) = 12_{\text{8}} \text{ 的数字和} = 3$。设 $N$ 是使 $g(n)$ 的十六进制表示不能只用数字 $0$ 到 $9$ 写出的最小的 $n$。求 $N$ 除以 $1000$ 的余数。

Bernardo 选了一个三位正整数 $N$，并把它的 $5$ 进制和 $6$ 进制表示都写在黑板上。后来 LeRoy 看到了 Bernardo 写的这两个数。他把这两个数当作 $10$ 进制整数相加，得到整数 $S$。例如，若 $N = 749$，Bernardo 写下 $10{,}444$ 和 $3{,}245$，LeRoy 得到和 $S = 13{,}689$。有多少种 $N$ 的选法，使 $S$ 的最右边两位数字（按顺序）与 $2N$ 的最右边两位数字相同？