不定方程

整数 $x$ 和 $y$ 满足 $x > y > 0$，且 $x + y + xy = 80$。$x$ 是多少？

有多少个整数有序对 $(x, y)$ 满足方程

有一个质数 $p$，使得 $16p + 1$ 是某个正整数的立方。求 $p$。

若 $x$ 和 $y$ 是整数，满足 $y^2 + 3x^2y^2 = 30x^2 + 517$，求 $3x^2y^2$。

若正整数 $c$ 有正整数因数 $a$ 和 $b$ 满足 $c = ab$，则称 $a$ 和 $b$ 是 $c$ 的一对互补因数。设正整数 $N$ 有一对互补因数相差 $20$，另有一对互补因数相差 $23$。$N$ 的各位数字之和是多少？

有多少个整数有序对 $(m, n)$ 满足方程 $m^2 + mn + n^2 = m^2n^2$？

求不定方程

的所有非负整数解 $(n_1, n_2, \dots, n_{14})$（如果有的话；仅次序不同的解视为相同）。

两个农夫约定，一头猪值 $300$ 美元，一只山羊值 $210$ 美元。当一个农夫欠另一个农夫钱时，他用猪或山羊还债，必要时以山羊或猪的形式“找零”。（例如，$390$ 美元的债可以用两头猪来还，再收回一只山羊作为找零。）用这种方式能结清的最小正债务是多少美元？

设 $a$ 和 $b$ 是互质的正整数，$a > b > 0$，且 $\dfrac{a^3 - b^3}{(a - b)^3} = \dfrac{73}{3}$。$a - b$ 是多少？

从集合 $\{1, 2, 3, 4, \dots, 36, 37\}$ 中选出两个不同的数，使得其余 $35$ 个数之和等于这两个数之积。这两个数的差是多少？

有多少个正整数三元组 $(a, b, c)$ 满足方程组

一个（由正整数组成的）等差数列有 $n \ge 3$ 项，首项为 $a$，公差 $d > 1$。Carl 把这个数列的所有项都写了下来，除了一项差了 $1$ 之外，其余都写对了。他写下的各项之和是 $222$。$a + d + n$ 是多少？

有多少个正整数有序对 $(b, c)$，使得 $x^2 + bx + c = 0$ 和 $x^2 + cx + b = 0$ 都没有两个不同的实数解？

把一个由正整数组成的 4 项等差数列的每一项，与一个由正整数组成的 4 项等比数列的对应项相加，得到一个新的 4 项数列。新数列的前三项是 $57$、$60$ 和 $91$。这个数列的第四项是多少？

存在唯一的非负整数有序三元组 $(a, k, m)$，使得

$a + k + m$ 是多少？

一个由小方格组成的长方形网格有 $141$ 行、$91$ 列。每个方格里能写两个数。Horace 和 Vera 各自把 $1$ 到 $141 \times 91 = 12{,}831$ 这些数填进网格。Horace 横着填：他把 $1$ 到 $91$ 从左到右依次填进第 $1$ 行，把 $92$ 到 $182$ 从左到右依次填进第 $2$ 行，依此类推，一直填到第 $141$ 行。Vera 竖着填：她把 $1$ 到 $141$ 从上到下依次填进第 $1$ 列，再把 $142$ 到 $282$ 从上到下依次填进第 $2$ 列，依此类推，一直填到第 $91$ 列。有多少个方格里的两个数相同？

Hiram 的代数笔记共 $50$ 页，印在 $25$ 张纸上；第一张纸上是第 $1$ 页和第 $2$ 页，第二张纸上是第 $3$ 页和第 $4$ 页，依此类推。有一天他去吃午饭前把笔记留在桌上，他的室友决定从笔记中间借走几页。Hiram 回来后发现，室友拿走了连续的几张纸，而剩下所有纸上页码的平均数恰好是 $19$。室友借走了几张纸？

欧拉的一个猜想在 20 世纪 60 年代被三位美国数学家推翻：他们证明了存在一个正整数，使得

求 $n$ 的值。

求最大的 $k$，使得 $3^{11}$ 能表示成 $k$ 个连续正整数之和。

对某个整数 $m$，多项式 $x^3 - 2011x + m$ 有三个整数根 $a$、$b$、$c$。求 $|a| + |b| + |c|$。

设 $m \ge 5$ 是奇数，$D(m)$ 表示满足下列条件的四元组 $(a_1, a_2, a_3, a_4)$ 的个数：它们是互不相同的整数，对所有 $i$ 都有 $1 \le a_i \le m$，且 $m$ 整除 $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$。存在多项式

使得对所有奇数 $m \ge 5$ 都有 $D(m) = q(m)$。$c_1$ 是多少？