模运算：全部习题

求 $36^9$ 除以 $5$ 的余数。

求 $34^9$ 除以 $5$ 的余数。

求 $7^{803}$ 除以 $400$ 的余数。

在范围 $1 \le N \le 2020$ 内随机选取一个整数 $N$。$N^{16}$ 除以 $5$ 的余数是 $1$ 的概率是多少？

若 $p$、$q$、$r$ 都是质数，且 $pqr = 7(p + q + r)$，求 $p + q + r$。

求除以 $13$ 余 $11$、除以 $5$ 余 $2$ 的最小正数。

$(20! - 15!)$ 的百位数字是多少？

$2015^{2016} - 2017$ 的十位数字是多少？

当 $p$ 是质数时，下列哪个式子永远不是质数？

设 $S(n)$ 表示正整数 $n$ 的各位数字之和。例如，$S(1507) = 13$。对某个正整数 $n$，$S(n) = 1274$。下列哪个可能是 $S(n+1)$ 的值？

设 $a_1, a_2, \dots, a_{2018}$ 是严格递增的正整数数列，满足

求 $a_1^3 + a_2^3 + \cdots + a_{2018}^3$ 除以 $6$ 的余数。

数列 $101, 1001, 10001, 100001, \dots$ 的前 $2018$ 个数中，有多少个能被 $101$ 整除？

设 $N = 123456789101112\dots4344$ 是把 $1$ 到 $44$ 的整数依次一个接一个写出来所得的 $79$ 位数。$N$ 除以 $45$ 的余数是多少？

下列各数中，有一个不能被任何小于 $10$ 的质数整除。是哪一个？

设 $S$ 是所有满足下列条件的整数 $z > 1$ 组成的集合：对所有满足 $x < y < z$ 的非负整数对 $(x, y)$，$2025x$ 除以 $z$ 的余数都小于 $2025y$ 除以 $z$ 的余数。$S$ 中所有元素之和是多少？

设 $p$ 是使得存在正整数 $n$、满足 $n^4 + 1$ 能被 $p^2$ 整除的最小质数。求使 $m^4 + 1$ 能被 $p^2$ 整除的最小正整数 $m$。

设 $x_0, x_1, x_2, \dots$ 是一个数列，其中每个 $x_k$ 都是 $0$ 或 $1$。对每个正整数 $n$，定义

假设对所有 $n \ge 1$ 都有 $7S_n \equiv 1 \pmod{2^n}$。和

的值是多少？

$3^0 + 3^1 + 3^2 + \cdots + 3^{2009}$ 除以 $8$ 的余数是多少？

$10^{1002} - 4^{501}$ 的因数中，$2$ 的最高次幂是多少？

设 $n$ 是一个 $5$ 位数，$q$ 和 $r$ 分别是 $n$ 除以 $100$ 的商和余数。有多少个 $n$ 使 $q + r$ 能被 $11$ 整除？

有多少个互不相同的四位数能被 $3$ 整除，并且末两位是 $23$？

对正整数 $N$ 和 $k$，如果存在正整数 $a$，使 $a^k$ 恰好有 $N$ 个正因数，就称 $N$ 是 $k$-好数。求小于 $1000$ 的正整数中，既不是 $7$-好数也不是 $8$-好数的个数。

设 $S$ 是 $1$ 到 $2^{40}$ 之间、二进制表示中恰好有两个 $1$ 的整数组成的集合。从 $S$ 中随机选一个数，它能被 $9$ 整除的概率是 $p/q$，其中 $p$、$q$ 是互质的正整数。求 $p + q$。

已知对所有正整数 $k$，

求使 $1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + k^2$ 是 $200$ 的倍数的最小正整数 $k$。

求所有满足下列条件的正整数 $n$ 之和：$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3$ 除以 $n + 5$ 的余数是 $17$。

$90!$ 的最后两个非零数字组成的数等于 $n$。$n$ 是多少？