最大公因数与最小公倍数：全部习题

设 $a, b, c$ 和 $d$ 是正整数，满足 $\gcd(a, b) = 24$，$\gcd(b, c) = 36$，$\gcd(c, d) = 54$，且 $70 < \gcd(d, a) < 100$。下列哪个数一定是 $a$ 的因数？

证明：对每个自然数 $n$，分数 $\dfrac{21n+4}{14n+3}$ 都是既约分数。

使 $n^{3} + 100$ 能被 $n + 10$ 整除的最大正整数 $n$ 是多少？

有多少个正整数有序对 $(a, b)$ 满足方程

其中 $\gcd(a, b)$ 表示 $a$ 与 $b$ 的最大公因数，$\operatorname{lcm}(a, b)$ 表示它们的最小公倍数？

设 $a$、$b$、$c$ 是正整数，满足

下列命题中哪些一定成立？

I. 如果 $\gcd(a, 14) = 1$ 或 $\gcd(b, 15) = 1$（或两者都成立），那么 $\gcd(c, 210) = 1$。

II. 如果 $\gcd(c, 210) = 1$，那么 $\gcd(a, 14) = 1$ 或 $\gcd(b, 15) = 1$（或两者都成立）。

III. $\gcd(c, 210) = 1$ 当且仅当 $\gcd(a, 14) = \gcd(b, 15) = 1$。

设 $a, b, c$ 和 $d$ 是正整数，满足下列所有关系：

$\gcd(a, b, c, d)$ 是多少？

设 $N$ 是能被每个小于 $7$ 的正整数整除的第二小的正整数。$N$ 的各位数字之和是多少？

有 $10$ 匹马，分别叫 Horse $1$、Horse $2$、$\ldots$、Horse $10$。它们的名字来自绕圆形跑道跑一圈所需的分钟数：Horse $k$ 跑一圈恰好用 $k$ 分钟。在时刻 $0$，所有马都在跑道的起点。它们朝同一方向出发，并以各自不变的速度一直绕圆形跑道跑下去。所有 $10$ 匹马再次同时回到起点的最早时刻 $S > 0$（单位：分钟）是 $S = 2520$。设 $T > 0$ 是至少有 $5$ 匹马再次同时位于起点的最早时刻（单位：分钟）。$T$ 的各位数字之和是多少？

设 $a$、$b$、$c$ 是正整数，满足

且

$a^{2} + b^{2} + c^{2}$ 所有可能的不同值之和是多少？

设 $N$ 是能被每个小于 $7$ 的正整数整除的第二小的正整数。$N$ 的各位数字之和是多少？

设 $n$ 是满足下列条件的最小正整数：$n$ 能被 $20$ 整除，$n^{2}$ 是完全立方数，$n^{3}$ 是完全平方数。$n$ 有几位数？

Mary 选了一个 $4$ 位偶数 $n$。她把 $n$ 的所有因数从左到右按递增顺序写下来：$1, 2, \ldots, \dfrac{n}{2}, n$。某一刻，Mary 写下了 $n$ 的因数 $323$。写在 $323$ 右边的下一个因数，最小可能是多少？

有多少个正整数 $n$ 满足：$n$ 是 $5$ 的倍数，并且 $5!$ 与 $n$ 的最小公倍数等于 $10!$ 与 $n$ 的最大公因数的 $5$ 倍？

满足 $y < x \le 100$，且 $\dfrac{x}{y}$ 与 $\dfrac{x+1}{y+1}$ 都是整数的正整数有序对 $(x, y)$ 有多少个？

设 $n$ 是大于 $1000$ 且满足

的最小正整数。$n$ 的各位数字之和是多少？

考虑由正有理数组成的数列 $(a_k)_{k \ge 1}$，定义为 $a_1 = \dfrac{2020}{2021}$，并且对 $k \ge 1$，若 $a_k = \dfrac{m}{n}$，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数，则

求所有满足下列条件的正整数 $j$ 之和：有理数 $a_j$ 能写成 $\dfrac{t}{t+1}$ 的形式，其中 $t$ 是某个正整数。

求有序对 $(m, n)$ 的个数，其中 $m$ 和 $n$ 是集合 $\{1, 2, \ldots, 30\}$ 中的正整数，并且 $2^{m} + 1$ 与 $2^{n} - 1$ 的最大公因数不是 $1$。