整除与勒让德公式：全部习题

一块宽 $10$ 英尺、长 $17$ 英尺的长方形地板铺着 $170$ 块边长一英尺的正方形瓷砖。一只虫子沿直线从一个角走到对角。包括第一块和最后一块瓷砖在内，虫子经过了多少块瓷砖？

有多少个奇的正 $3$ 位整数能被 $3$ 整除，但不含数字 $3$？

对于所有整数 $n \ge 9$，

的值总是下列哪一种？

证明：对于每个自然数 $n$，分数 $\frac{21n + 4}{14n + 3}$ 都是既约分数。

使 $n^3 + 100$ 能被 $n + 10$ 整除的最大正整数 $n$ 是多少？

如果一个正整数的每一位数字都严格大于它前一位数字，就称它为上坡数。例如 $1357$、$89$、$5$ 都是上坡数，而 $32$、$1240$、$466$ 都不是。有多少个上坡数能被 $15$ 整除？

对所有正偶数 $n$，都能整除

的最大整数是多少？

数 $21! = 51{,}090{,}942{,}171{,}709{,}440{,}000$ 有超过 $60{,}000$ 个正因数。从中随机选一个。它是奇数的概率是多少？

如果一个正整数的每一位数字都严格大于它前一位数字，就称它为上坡数。例如 $1357$、$89$ 和 $5$ 都是上坡数，而 $32$、$1240$ 和 $466$ 都不是。有多少个上坡数能被 $15$ 整除？

设 $N = 123456789101112 \dots 4344$ 是把从 $1$ 到 $44$ 的整数按顺序依次写下所组成的 $79$ 位数。$N$ 除以 $45$ 的余数是多少？

设 $n$ 是同时能被 $4$ 和 $9$ 整除、并且十进制表示只由数字 $4$ 和 $9$ 组成（两种数字都至少出现一次）的最小正整数。$n$ 的末四位是什么？

一个由三位整数组成的有限数列具有如下性质：每一项的十位数字和个位数字分别是下一项的百位数字和十位数字，并且最后一项的十位数字和个位数字分别是第一项的百位数字和十位数字。例如，这样的数列可能以 $247$、$475$、$756$ 这几项开头，并以 $824$ 这一项结尾。设 $S$ 是数列所有项的和。总能整除 $S$ 的最大质因数是多少？

有多少个正整数 $n \le 1000$ 使得

不能被 $3$ 整除？（回忆：$\lfloor x \rfloor$ 表示小于或等于 $x$ 的最大整数。）

设 $a_{10} = 10$，并且对每个正整数 $n > 10$，令 $a_n = 100a_{n-1} + n$。求使 $a_n$ 是 $99$ 的倍数的最小正整数 $n > 10$。

定义 $n!!$：当 $n$ 为奇数时为 $n(n - 2)(n - 4) \cdots 3 \cdot 1$，当 $n$ 为偶数时为 $n(n - 2)(n - 4) \cdots 4 \cdot 2$。把

写成最简分数时，它的分母是 $2^a b$，其中 $b$ 是奇数。求 $\dfrac{ab}{10}$。