质数与因数：全部习题

从 $12!$ 的正整数因数中随机选一个。选中的因数是完全平方数的概率可以写成 $\frac{m}{n}$，其中 $m$、$n$ 是互质的正整数。$m + n$ 等于多少？

学校活动中，一节长椅要么能坐 $7$ 个成人，要么能坐 $11$ 个儿童。把 $N$ 节长椅首尾相连，让人数相等的成人和儿童一起坐上去，恰好坐满所有长椅。$N$ 的最小正整数值是多少？

使 $m \cdot 2! \cdot 3! \cdot 4! \cdot 5! \cdots 16!$ 为完全平方数的最小正整数 $m$ 是多少？

有多少个整数 $n$（不一定是正数）使 $4000 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^n$ 的值是整数？

把 $1$ 到 $8$ 这些数放在一个正方体的各个顶点上，使每个面上四个数的和都相同。这个相同的和是多少？

小于 $2020$ 的 $3$ 的正偶数倍中，有多少个是完全平方数？

$201^9$ 有多少个正整数因数是完全平方数或完全立方数（或两者都是）？

整除 $12!$ 的最大完全平方数的平方根，其各质因数的指数之和是多少？

不计顺序，把 $2016$ 写成若干个 2 与若干个 3 之和，有多少种方法？（例如，$1008 \cdot 2 + 0 \cdot 3$ 和 $402 \cdot 2 + 404 \cdot 3$ 是两种这样的方法。）

求满足下列条件的正整数的个数：它是三位数 $abc$（各位数字不一定互不相同），$a \neq 0$ 且 $c \neq 0$，并且 $abc$ 和 $cba$ 都是 $4$ 的倍数。

对某个正整数 $n$，数 $110n^3$ 有 $110$ 个正整数因数（包括 $1$ 和 $110n^3$ 本身）。数 $81n^4$ 有多少个正整数因数？

设 $S$ 是 $100{,}000$ 的所有正整数因数组成的集合。有多少个数是 $S$ 中两个不同元素的积？

从 $-10$ 到 $14$（含两端）的 $25$ 个整数可以排成一个 $5$ 行 $5$ 列的方阵，使每一行的数之和、每一列的数之和以及两条主对角线上的数之和都相同。这个相同的和是多少？

把 $2, 3, 4, 5, 6, 7$ 这些数全部填到一个正方体的六个面上，每个面填一个数。对正方体的八个顶点，各计算一个三数之积，这三个数是含有该顶点的三个面上的数。这八个积之和的最大可能值是多少？

有多少个 $3$ 位正奇数能被 $3$ 整除，但不含数字 $3$？

有多少个两位正整数是 $2^{24} - 1$ 的因数？

有一个质数 $p$，使得 $16p + 1$ 是某个正整数的立方。求 $p$。

Joey、Chloe 和他们的女儿 Zoe 生日是同一天。Joey 比 Chloe 大 $1$ 岁，而 Zoe 今天正好 $1$ 岁。在接下来的生日中，Chloe 的年龄是 Zoe 年龄的整数倍的情况共有 $9$ 次，今天是其中第一次。下一次 Joey 的年龄是 Zoe 年龄的倍数时，Joey 年龄的两位数字之和是多少？

$2015^{2016} - 2017$ 的十位数字是多少？

设 $N = 123456789101112\dots4344$ 是把从 $1$ 到 $44$ 的整数按顺序一个接一个写出来所得的 $79$ 位数。$N$ 除以 $45$ 的余数是多少？

$(20! - 15!)$ 的百位数字是多少？

求满足 $m^2 n = 20^{20}$ 的正整数有序数对 $(m, n)$ 的个数。

设 $N = 34 \cdot 34 \cdot 63 \cdot 270$。$N$ 的奇因数之和与 $N$ 的偶因数之和的比是多少？

Ron 在计算两个正整数 $a$ 和 $b$ 的积时，把两位数 $a$ 的数字顺序弄反了。他算出的错误乘积是 $161$。$a$ 与 $b$ 的正确乘积是多少？

正整数 $a$、$b$ 和 $2009$ 满足 $a < b < 2009$，并且组成一个公比为整数的等比数列。$a$ 是多少？

有多少个正立方数整除 $3! \cdot 5! \cdot 7!$？

设 $N = 34 \cdot 34 \cdot 63 \cdot 270$。$N$ 的奇因数之和与 $N$ 的偶因数之和的比是多少？

设 $m$ 和 $n$ 是满足 $75m = n^3$ 的正整数。$m + n$ 的最小可能值是多少？

Elmo 为一次募捐活动做了 $N$ 个三明治。每个三明治他用 $B$ 团花生酱，每团 $4$ 美分，以及 $J$ 团果酱，每团 $5$ 美分。做所有三明治所用的花生酱和果酱共花费 $2.53。假设 $B$、$J$ 和 $N$ 都是正整数且 $N > 1$。Elmo 做三明治所用的果酱花了多少钱？

$16384$ 的最大质因数是 $2$，因为 $16384 = 2^{14}$。$16383$ 的最大质因数的各位数字之和是多少？

把整数 $2, 3, \ldots, 9$ 中的每一个涂成红色、绿色或蓝色，使每个数的颜色都与它的每个真因数的颜色不同。有多少种涂法？

正整数 $A$、$B$、$A - B$ 和 $A + B$ 都是质数。这四个质数的和是

已知 $3^8 \cdot 5^2 = a^b$，其中 $a$ 和 $b$ 都是正整数，求 $a + b$ 的最小可能值。

$2004^{2004}$ 有多少个正整数因数恰好能被 $2004$ 个正整数整除？

求至少是 $10^{10}$、$15^7$、$18^{11}$ 之一的因数的正整数的个数。

设 $S$ 是所有形如 $a/b$ 的数之和，其中 $a$ 和 $b$ 是 $1000$ 的互质的正因数。不超过 $S/10$ 的最大整数是多少？

对每个正整数 $n$，设 $f_1(n)$ 是 $n$ 的正整数因数个数的两倍，并且对 $j \ge 2$，设 $f_j(n) = f_1(f_{j-1}(n))$。有多少个 $n \le 50$ 使 $f_{50}(n) = 12$？

对每个正整数 $n > 1$，用 $P(n)$ 表示 $n$ 的最大质因数。有多少个正整数 $n$ 同时满足 $P(n) = \sqrt{n}$ 和 $P(n + 48) = \sqrt{n + 48}$？