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AMC 10/12
数论 · 第 21 章

质数与因数

把数分解成质数，再直接从指数算出它的因数个数、因数和与因数积。

这一章讲什么？
你需要先会
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21.00%

质数、质因数分解与因数个数

在本节中，你将能够 把任意一个数写成质数的乘积，并直接从指数数出它的因数个数。

一对双胞胎哥哥和他们的妹妹，三人年龄的积是 128128。128128 里只藏着一个质数，所以每个人的年龄都是 22 的幂。

每个大于 11 的整数都能以唯一的方式分解成质数的乘积。在概念 21.0.3 下面的因数树里，先把 6060 拆成 6×106 \times 10， 再重新开始，拆成 4×154 \times 15。最后的叶子一模一样：2,2,3,52, 2, 3, 5。

这一个分解式就把因数的所有信息都告诉了你。60=22⋅3⋅560 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 的一个因数，不过是给每个质数选一个指数：22 的指数从 00 到 22，33 和 55 的指数取 00 或 11。看：每个因数就是上面格点图里的一个点。

完全平方数的指数全是偶数。所以数平方因数，就是逐个质数地数偶数指数。

动手探索先玩，再学公式

60 = 2² × 3 × 5：3 × 2 × 2 = 12 个因数

点亮：
2 的指数2
3 的指数1
5 的指数1

n = 60 = 2² × 3 × 5

× 5⁰
2⁰2¹2²3⁰3¹1243612
× 5¹
2⁰2¹2²3⁰3¹51020153060
  • 2 的幂：2⁰, 2¹, 2² → 3 种选择
  • 3 的幂：3⁰, 3¹ → 2 种选择
  • 5 的幂：5⁰, 5¹ → 2 种选择
3 × 2 × 2 = 12 个因数

60 = 2² × 3 × 5：3 × 2 × 2 = 12 个因数

认识概念

定义 21.0.1 · 质数

质数是恰好有两个因数的数：11 和它本身。例如，2,3,5,7,11,13,17,19,23,…2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, \ldots 都是质数。

注 21.0.2

要判断一个数 nn 是不是质数，只需要用小于或等于 n\sqrt{n} 的质数去试除。

97 的质因数分解：97

97 = 97全是质数！

97 是质数：2, 3, 5, 7 都不整除它，而下一个质数 11 已经大于 √97 ≈ 9.85。没法拆开。

97 = 97。每片叶子都是质数。

概念 21.0.3 · 质因数分解

质因数分解就是把一个数写成若干个质数的乘积。

例：6060 的质因数分解是 22×3×52^2 \times 3 \times 5。

60 的质因数分解：2^2 × 3 × 5

把 60 拆成：

60 = 60继续拆

60 = 60。有些叶子还能继续拆。

定理 21.0.4 · 一个数的因数个数

如果一个数的质因数分解是

p1e1×p2e2×⋯×pkek,p_1^{e_1} \times p_2^{e_2} \times \cdots \times p_k^{e_k},

那么这个数的因数个数是

(e1+1)(e2+1)⋯(ek+1).(e_1 + 1)(e_2 + 1)\cdots(e_k + 1).

看例题先预测，再揭晓

例 21.1

AMC 10

Kiana 有一对比她大的双胞胎哥哥。他们三人年龄的积是 128128。三人年龄的和是多少？

因数树 (总数在例题最后一步揭晓)

把 128 拆成：

128 = 128继续拆

128 = 128。有些叶子还能继续拆。

  1. 1

    把 128128 分解质因数。它是 22 的幂：128=2k128 = 2^k。kk 是多少？

    先预测一下：
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例 21.2

AIME

设 n=231319n = 2^{31} 3^{19}。n2n^2 有多少个正因数小于 nn 但不整除 nn？

指数格点 (总数在例题最后一步揭晓)

点亮：
n 中 2 的指数3
n 中 3 的指数2

n² = 2⁶ × 3⁴，n = 2³ × 3²

2⁰2¹2²2³2⁴2⁵2⁶3⁰3¹3²3³3⁴12481632643612244896192918367214428857627541082164328641,728811623246481,2962,5925,184
  • 这条线是 d = n。点亮的点在线的下方（d < n），但在 n 的因数构成的虚线框之外。
(7 × 5 − 1)/2 − (4 × 3 − 1) = ? (例题最后一步揭晓)

5,184 = 2⁶ × 3⁴：结果已隐藏

  1. 1

    从小情形开始：n=23⋅32=72n = 2^3 \cdot 3^2 = 72，于是 n2=26⋅34n^2 = 2^6 \cdot 3^4。n2n^2 有多少个因数？

    先预测一下：
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例 21.3

AIME

设 nn 是满足下列条件的最小正整数：它是 7575 的倍数，并且恰好有 7575 个正整数因数（包括 11 和它本身）。求 n75\frac{n}{75}。

因数树 (总数在例题最后一步揭晓)

把 75 拆成：

75 = 75继续拆

75 = 75。有些叶子还能继续拆。

  1. 1

    75=3⋅5275 = 3 \cdot 5^2。nn 必须含有哪些质因数？每个至少几次？

    先预测一下：
    点击一个选项，或输入它的字母（A–E）。
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自己做

习题 21.3.6

AMC 10

小于 20202020 的 33 的正偶数倍中，有多少个是完全平方数？

习题 21.3.7

AMC 10

2019201^9 有多少个正整数因数是完全平方数或完全立方数（或两者都是）？

535,506,216,522,273,441,801 = 3⁹ × 67⁹：5 × 5 = 25 个完全平方因数

点亮：
3 的指数9
67 的指数9

n = 535,506,216,522,273,441,801 = 3⁹ × 67⁹

3⁰3¹3²⋯3⁷3⁸3⁹67⁰67¹67²⋮67⁷67⁸67⁹1392,1876,56119,68367201603146,529439,5873⁹·674,48913,46740,4013⁷·67²3⁸·67²3⁹·67²67⁷3·67⁷3²·67⁷3⁷·67⁷3⁸·67⁷3⁹·67⁷67⁸3·67⁸3²·67⁸3⁷·67⁸3⁸·67⁸3⁹·67⁸67⁹3·67⁹3²·67⁹3⁷·67⁹3⁸·67⁹3⁹·67⁹
  • 3 的幂：3⁰, 3², 3⁴, 3⁶, 3⁸ → 5 种选择
  • 67 的幂：67⁰, 67², 67⁴, 67⁶, 67⁸ → 5 种选择
5 × 5 = 25 个完全平方因数

535,506,216,522,273,441,801 = 3⁹ × 67⁹：5 × 5 = 25 个完全平方因数

习题 21.3.16

AMC 10

有多少个两位正整数是 224−12^{24} - 1 的因数？

竞赛角真实竞赛题

习题 21.3.1

AMC 10

从 12!12! 的正整数因数中随机选一个。选中的因数是完全平方数的概率可以写成 mn\frac{m}{n}，其中 mm、nn 是互质的正整数。m+nm + n 等于多少？

习题 21.3.11

AMC 10

对某个正整数 nn，数 110n3110n^3 有 110110 个正整数因数（包括 11 和 110n3110n^3 本身）。数 81n481n^4 有多少个正整数因数？

习题 21.3.22

AIME

求满足 m2n=2020m^2 n = 20^{20} 的正整数有序数对 (m,n)(m, n) 的个数。

习题 21.3.34（补充题）

AIME

200420042004^{2004} 有多少个正整数因数恰好能被 20042004 个正整数整除？

过关检测（第 21.0 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

360360 有多少个正因数？

2

24⋅332^4 \cdot 3^3 有多少个正因数是完全平方数？

3

221221 的最小质因数是多少？（只需试除不超过 221<15\sqrt{221} < 15 的质数。）

21.10%

因数和

在本节中，你将能够 把每个质数对应的一个等比数列的和相乘，求出一个数所有因数的和。

1212 的因数是 1,2,3,4,6,121, 2, 3, 4, 6, 12，加起来是 2828。(1+2+4)(1+3)(1 + 2 + 4)(1 + 3) 算出来也一样。这可不是巧合。

展开 (1+2+4)(1+3)(1 + 2 + 4)(1 + 3)：每一项都是从 22 的幂里挑一个、从 33 的幂里挑一个相乘，每次得到的恰好是 1212 的一个因数。 所以每个质数对应一个和，把这些和乘起来，就把所有因数都加起来了。

每个括号都是一个等比级数：1+p+⋯+pe=pe+1−1p−11 + p + \cdots + p^{e} = \frac{p^{e+1} - 1}{p - 1}。

只要奇因数？把 22 对应的括号去掉就行。书中把例 21.4 印在第 21.2 节，但它是一道因数和的题，所以你会在这里遇到它。

动手探索先玩，再学公式

12 = 2² × 3：因数之和 = 7 × 4 = 28

点亮：
2 的指数2
3 的指数1

n = 12 = 2² × 3

2⁰2¹2²3⁰3¹1243612
  • 2 的幂：1 + 2 + 4 = 7
  • 3 的幂：1 + 3 = 4
7 × 4 = 28
(1+p1+⋯+p1e1)⋯(1+pk+⋯+pkek)7×4=28(1+p_1+\cdots+p_1^{e_1})\cdots(1+p_k+\cdots+p_k^{e_k}) \quad 7\times4 = 28

n=22×31n = 2^{2} \times 3^{1}

12 = 2² × 3：因数之和 = 7 × 4 = 28

认识概念

定理 21.1.1 · 一个数的因数和

如果一个数的质因数分解是

p1e1×p2e2×⋯×pkek,p_1^{e_1} \times p_2^{e_2} \times \cdots \times p_k^{e_k},

那么这个数所有因数的和是

(1+p1+p12+⋯+p1e1)(1+p2+p22+⋯+p2e2)⋯(1+pk+pk2+⋯+pkek).(1 + p_1 + p_1^2 + \cdots + p_1^{e_1})(1 + p_2 + p_2^2 + \cdots + p_2^{e_2})\cdots(1 + p_k + p_k^2 + \cdots + p_k^{e_k}).

概念 21.1.2 · 一个数的因数和

对质因数分解中的每个质数 pp，先求出 pkp^k 对所有可能的指数 kk（从 00 到 pp 的指数）的和。再把所有质数对应的这些和乘起来，就得到这个数所有因数的和。

看例题先预测，再揭晓

例 21.4

AMC 12

对正整数 nn，设 f(n)f(n) 是 nn 的所有正因数之和除以 nn 所得的商。例如

f(14)=(1+2+7+14)÷14=127.f(14) = (1 + 2 + 7 + 14) \div 14 = \frac{12}{7}.

f(768)−f(384)f(768) - f(384) 等于多少？

指数格点 (总数在例题最后一步揭晓)

2 的指数8
3 的指数1

n = 768 = 2⁸ × 3

2⁰2¹2²2³2⁴2⁵2⁶2⁷2⁸3⁰3¹12481632641282563612244896192384768
  • 2 的幂：1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 = 511
  • 3 的幂：1 + 3 = 4
511 × 4 = ? (例题最后一步揭晓)

768 = 2⁸ × 3：结果已隐藏

  1. 1

    把两个数都分解质因数。768=2a⋅3768 = 2^a \cdot 3，384=2a−1⋅3384 = 2^{a-1} \cdot 3。aa 是多少？

    先预测一下：
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自己做

习题 21.3.23

AMC 10/12

设 N=34⋅34⋅63⋅270N = 34 \cdot 34 \cdot 63 \cdot 270。NN 的奇因数之和与 NN 的偶因数之和的比是多少？

72 = 2³ × 3²：奇因数之和 = 1 × 13 = 13

点亮：
2 的指数3
3 的指数2

n = 72 = 2³ × 3²

2⁰2¹2²2³3⁰3¹3²12483612249183672
  • 2 的幂：1 = 1
  • 3 的幂：1 + 3 + 9 = 13
1 × 13 = 13

72 = 2³ × 3²：奇因数之和 = 1 × 13 = 13

竞赛角真实竞赛题

习题 21.3.36（补充题）

AIME

设 SS 是所有形如 a/ba/b 的数之和，其中 aa 和 bb 是 10001000 的互质的正因数。不超过 S/10S/10 的最大整数是多少？

过关检测（第 21.1 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

1212 的所有正因数之和是多少？

2

100100 的所有正因数之和是多少？

3

7272 的所有奇正因数之和是多少？

21.20%

因数积

在本节中，你将能够 把每个因数 d 和 n/d 配成一对，一次算出一个数所有因数的积。

3636 的因数可以两两配对：1×361 \times 36、2×182 \times 18、3×123 \times 12、4×94 \times 9。每一对的积都是 3636。剩下的 66 只能和自己配对。

把每个因数 dd 和它的搭档 nd\frac{n}{d} 配成一对。在格点图上，搭档关于中心对称。有 ff 个因数时就有 f2\frac{f}{2} 对， 每一对的积是 nn，所以所有因数的积是 nf/2n^{f/2}。

当 nn 是完全平方数时，正中间的因数 n\sqrt{n} 是它自己的搭档。它算作半对，公式照样成立。

动手探索先玩，再学公式

36 = 2² × 3²：9 个因数的积 = 36^(9/2) = 10,077,696

点亮：
2 的指数2
3 的指数2

n = 36 = 2² × 3²

2⁰2¹2²3⁰3¹3²124361291836

你选了 2⁰ × 3¹ = 3。它的搭档是 2² × 3¹ = 12，而 3 × 12 = 36。

  • 2 的幂：2⁰, 2¹, 2² → 3 种选择
  • 3 的幂：3⁰, 3¹, 3² → 3 种选择
  • 关于中心对称的两个点配成一对，每一对的积都是 36。共有 9 个因数，所以有 9/2 对（正中间的点和自己配对，算作半对）。
36^(9/2) = 10,077,696

36 = 2² × 3²：9 个因数的积 = 36^(9/2) = 10,077,696

认识概念

定理 21.2.1 · 一个数的因数积

如果一个数 nn 有 ff 个因数（用因数个数公式数出来），那么 nn 的所有因数的积是

nf/2.n^{f/2}.

竞赛角真实竞赛题

习题 21.3.12

AMC 10

设 SS 是 100,000100{,}000 的所有正整数因数组成的集合。有多少个数是 SS 中两个不同元素的积？

习题 21.3.33（补充题）

AMC 10

已知 38⋅52=ab3^8 \cdot 5^2 = a^b，其中 aa 和 bb 都是正整数，求 a+ba + b 的最小可能值。

过关检测（第 21.2 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

1212 的所有正因数之积是多少？

2

nn 的所有正因数之积是 n5n^5。nn 有多少个因数？（假设 n>1n > 1。）

3

1616 的所有正因数之积是 2k2^k。kk 是多少？

21.3

练习题

在本节中，你将能够 在竞赛题中综合运用本章的质数、因数个数和整除知识。

这里的题不一定把“因数”两个字说出来。不管怎样，先分解质因数：质数、奇偶性和末几位数字能解决其中大部分。

习题 21.3.24 到 21.3.38 是书中的补充习题，最后两道是挑战题。每道题都有三个提示，卡住了就看看。

想在一页里看到本章的所有习题？打开习题集。

竞赛角真实竞赛题

习题 21.3.2

AMC 10

学校活动中，一节长椅要么能坐 77 个成人，要么能坐 1111 个儿童。把 NN 节长椅首尾相连，让人数相等的成人和儿童一起坐上去，恰好坐满所有长椅。NN 的最小正整数值是多少？

点击一个选项，或输入它的字母（A–E）。

习题 21.3.3

AMC 10

使 m⋅2!⋅3!⋅4!⋅5!⋯16!m \cdot 2! \cdot 3! \cdot 4! \cdot 5! \cdots 16! 为完全平方数的最小正整数 mm 是多少？

习题 21.3.4

AMC 10

有多少个整数 nn（不一定是正数）使 4000⋅(25)n4000 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^n 的值是整数？

习题 21.3.5

AMC 10

把 11 到 88 这些数放在一个正方体的各个顶点上，使每个面上四个数的和都相同。这个相同的和是多少？

习题 21.3.8

AMC 12

整除 12!12! 的最大完全平方数的平方根，其各质因数的指数之和是多少？

习题 21.3.9

AMC 10

不计顺序，把 20162016 写成若干个 2 与若干个 3 之和，有多少种方法？（例如，1008⋅2+0⋅31008 \cdot 2 + 0 \cdot 3 和 402⋅2+404⋅3402 \cdot 2 + 404 \cdot 3 是两种这样的方法。）

习题 21.3.10

AIME

求满足下列条件的正整数的个数：它是三位数 abcabc（各位数字不一定互不相同），a≠0a \neq 0 且 c≠0c \neq 0，并且 abcabc 和 cbacba 都是 44 的倍数。

习题 21.3.13

AMC 10

从 −10-10 到 1414（含两端）的 2525 个整数可以排成一个 55 行 55 列的方阵，使每一行的数之和、每一列的数之和以及两条主对角线上的数之和都相同。这个相同的和是多少？

习题 21.3.14

AMC 10

把 2,3,4,5,6,72, 3, 4, 5, 6, 7 这些数全部填到一个正方体的六个面上，每个面填一个数。对正方体的八个顶点，各计算一个三数之积，这三个数是含有该顶点的三个面上的数。这八个积之和的最大可能值是多少？

习题 21.3.15

AMC 12

有多少个 33 位正奇数能被 33 整除，但不含数字 33？

习题 21.3.17

AIME

有一个质数 pp，使得 16p+116p + 1 是某个正整数的立方。求 pp。

习题 21.3.18

AMC 10

Joey、Chloe 和他们的女儿 Zoe 生日是同一天。Joey 比 Chloe 大 11 岁，而 Zoe 今天正好 11 岁。在接下来的生日中，Chloe 的年龄是 Zoe 年龄的整数倍的情况共有 99 次，今天是其中第一次。下一次 Joey 的年龄是 Zoe 年龄的倍数时，Joey 年龄的两位数字之和是多少？

习题 21.3.19

AMC 10

20152016−20172015^{2016} - 2017 的十位数字是多少？

习题 21.3.20

AMC 10

设 N=123456789101112…4344N = 123456789101112\dots4344 是把从 11 到 4444 的整数按顺序一个接一个写出来所得的 7979 位数。NN 除以 4545 的余数是多少？

习题 21.3.21

AMC 10

(20!−15!)(20! - 15!) 的百位数字是多少？

习题 21.3.24（补充题）

AMC 12

Ron 在计算两个正整数 aa 和 bb 的积时，把两位数 aa 的数字顺序弄反了。他算出的错误乘积是 161161。aa 与 bb 的正确乘积是多少？

习题 21.3.25（补充题）

AMC 10

正整数 aa、bb 和 20092009 满足 a<b<2009a < b < 2009，并且组成一个公比为整数的等比数列。aa 是多少？

习题 21.3.26（补充题）

AMC 10

有多少个正立方数整除 3!⋅5!⋅7!3! \cdot 5! \cdot 7!？

习题 21.3.27（补充题）

AMC 12

这道题在书中还以 21.3.23 的编号出现。

设 N=34⋅34⋅63⋅270N = 34 \cdot 34 \cdot 63 \cdot 270。NN 的奇因数之和与 NN 的偶因数之和的比是多少？

习题 21.3.28（补充题）

AMC 10

设 mm 和 nn 是满足 75m=n375m = n^3 的正整数。m+nm + n 的最小可能值是多少？

75 的质因数分解：3 × 5^2

把 75 拆成：

75 = 75继续拆

75 = 75。有些叶子还能继续拆。

习题 21.3.29（补充题）

AMC 10

Elmo 为一次募捐活动做了 NN 个三明治。每个三明治他用 BB 团花生酱，每团 44 美分，以及 JJ 团果酱，每团 55 美分。做所有三明治所用的花生酱和果酱共花费 $2.53。假设 BB、JJ 和 NN 都是正整数且 N>1N > 1。Elmo 做三明治所用的果酱花了多少钱？

习题 21.3.30（补充题）

AMC 12

1638416384 的最大质因数是 22，因为 16384=21416384 = 2^{14}。1638316383 的最大质因数的各位数字之和是多少？

习题 21.3.31（补充题）

AMC 12

把整数 2,3,…,92, 3, \ldots, 9 中的每一个涂成红色、绿色或蓝色，使每个数的颜色都与它的每个真因数的颜色不同。有多少种涂法？

习题 21.3.32（补充题）

AMC 10

正整数 AA、BB、A−BA - B 和 A+BA + B 都是质数。这四个质数的和是

点击一个选项，或输入它的字母（A–E）。

习题 21.3.35（补充题）

AIME

求至少是 101010^{10}、15715^7、181118^{11} 之一的因数的正整数的个数。

习题 21.3.37（补充题）

AMC 12挑战

对每个正整数 nn，设 f1(n)f_1(n) 是 nn 的正整数因数个数的两倍，并且对 j≥2j \ge 2，设 fj(n)=f1(fj−1(n))f_j(n) = f_1(f_{j-1}(n))。有多少个 n≤50n \le 50 使 f50(n)=12f_{50}(n) = 12？

习题 21.3.38（补充题）

AMC 10挑战

对每个正整数 n>1n > 1，用 P(n)P(n) 表示 nn 的最大质因数。有多少个正整数 nn 同时满足 P(n)=nP(n) = \sqrt{n} 和 P(n+48)=n+48P(n + 48) = \sqrt{n + 48}？