19. 方程组：习题集 · Mastering AMC 10/12

习题 19.2.1

AMC 10

一个面向高二和高三学生的课后项目中有一支辩论队，辩论队里两个年级的学生人数相等。项目中共有 $28$ 名学生，其中 $25\%$ 的高二学生和 $10\%$ 的高三学生在辩论队里。项目中有多少名高二学生？

习题 19.2.2

AMC 10

Joe 收藏了 $23$ 枚硬币，由 $5$ 美分硬币、 $10$ 美分硬币和 $25$ 美分硬币组成。他的 $10$ 美分硬币比 $5$ 美分硬币多 $3$ 枚，全部硬币的总面值是 $320$ 美分。Joe 的 $25$ 美分硬币比 $5$ 美分硬币多几枚？

习题 19.2.3

AMC 10

两个自然数的和是 $17{,}402$ 。其中一个数能被 $10$ 整除。如果把这个数的个位数字擦掉，就得到另一个数。这两个数的差是多少？

习题 19.2.4

AMC 10

Pablo、Sofia 和 Mia 在一个聚会上得到了一些糖蛋。Pablo 的糖蛋是 Sofia 的三倍，Sofia 的糖蛋是 Mia 的两倍。Pablo 决定把自己的一些糖蛋分给 Sofia 和 Mia，使三人的糖蛋一样多。Pablo 应该把他的糖蛋的几分之几给 Sofia？

习题 19.2.5

AMC 10/12

在一次数学竞赛中，有 $57$ 名学生穿蓝色衬衫，另有 $75$ 名学生穿黄色衬衫。这 $132$ 名学生被分成 $66$ 对。恰好有 $23$ 对中两名学生都穿蓝色衬衫。有多少对中两名学生都穿黄色衬衫？

习题 19.2.6

AMC 10/12

一名学生把数 $66$ 乘以循环小数

1.\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{a}\,\underline{b}\cdots = 1.\overline{\underline{a}\,\underline{b}},

其中 $a$ 和 $b$ 是数字。他没有注意到循环节记号，直接把 $66$ 乘以 $1.\underline{a}\,\underline{b}$ 。后来他发现自己的答案比正确答案小 $0.5$ 。 $2$ 位整数 $\underline{a}\,\underline{b}$ 是多少？

习题 19.2.7

AMC 10B/12B

这道题在书中还以 15.1.3 的编号出现。

设 $S$ 是一个由正整数组成的有限集合。如果从 $S$ 中去掉最大的整数，那么 $S$ 中剩下的整数的平均值（算术平均数）是 $32$ 。如果再从 $S$ 中去掉最小的整数，剩下的整数的平均值是 $35$ 。如果接着把最大的整数放回集合，这些整数的平均值升到 $40$ 。原集合 $S$ 中最大的整数比 $S$ 中最小的整数大 $72$ 。集合 $S$ 中所有整数的平均值是多少？

习题 19.2.8（补充题）

AMC 10

Ana 和 Bonita 出生在不同年份的同一天，相差 $n$ 岁。去年 Ana 的年龄是 Bonita 的 $5$ 倍。今年 Ana 的年龄是 Bonita 年龄的平方。 $n$ 是多少？

习题 19.2.9（补充题）

AMC 10

某一年 Megapolis 医院的多胞胎统计如下：双胞胎、三胞胎和四胞胎共占出生婴儿中的 $1000$ 个。三胞胎的组数是四胞胎组数的四倍，双胞胎的组数是三胞胎组数的三倍。这 $1000$ 个婴儿中有多少个属于四胞胎？

习题 19.2.10（补充题）

AMC 10

两个罐子里的弹珠数相同，每颗弹珠不是蓝色就是绿色。罐 $1$ 中蓝色与绿色弹珠的比是 $9:1$ ，罐 $2$ 中蓝色与绿色弹珠的比是 $8:1$ 。绿色弹珠一共有 $95$ 颗。罐 $1$ 中的蓝色弹珠比罐 $2$ 中的多几颗？

习题 19.2.11（补充题）

AMC 10

在美国，硬币的厚度如下：1 美分硬币 $1.55$ mm；5 美分硬币 $1.95$ mm；10 美分硬币 $1.35$ mm；25 美分硬币 $1.75$ mm。如果一摞这样的硬币恰好高 $14$ mm，这摞硬币有多少枚？

习题 19.2.12（补充题）

AMC 10

Boris 有一台神奇的换硬币机。投入一枚 25 美分硬币，它吐出五枚 5 美分硬币；投入一枚 5 美分硬币，它吐出五枚 1 美分硬币；投入一枚 1 美分硬币，它吐出五枚 25 美分硬币。Boris 开始时只有一枚 1 美分硬币。反复使用这台机器后，Boris 可能拥有下面哪个金额？

习题 19.2.13（补充题）

AMC 10

一天早上，Angela 家的每个人都喝了一杯 $8$ 盎司的牛奶咖啡。每杯中咖啡和牛奶的量各不相同，但都不为零。Angela 喝掉了牛奶总量的四分之一和咖啡总量的六分之一。这个家庭有几个人？

习题 19.2.14（补充题）

AMC 12

Kristin 所在州的州所得税这样征收：年收入的前 $\$28000$ 按 $p\%$ 征税，超过 $\$28000$ 的部分按 $(p + 2)\%$ 征税。Kristin 注意到，她缴纳的州所得税相当于她年收入的 $(p + 0.25)\%$ 。她的年收入是多少？

习题 19.2.15（补充题）

AMC 10/12

油漆工 Paula 和她的两名助手各自以恒定但不同的效率刷漆。他们总是在上午 8:00 开工，三人每天吃午饭的时间总是相同的。星期一，三人刷完了一栋房子的 $50\%$ ，在下午 4:00 收工。星期二，Paula 不在，两名助手只刷了这栋房子的 $24\%$ ，在下午 2:12 收工。星期三，Paula 一个人干，一直干到晚上 7:12 才把房子刷完。每天的午休是多少分钟？

习题 19.2.16（补充题）

AMC 12

$12$ 个海盗约定按如下方式分一箱金币。第 $k$ 个取金币的海盗拿走箱中剩余金币的 $\frac{k}{12}$ 。箱中最初的金币数是使每个海盗都能分到正整数枚金币的最小数。第 $12$ 个海盗分到多少枚金币？

习题 19.2.17（补充题）

AIME

罐 A 中有 4 升浓度为 $45\%$ 的酸溶液。罐 B 中有 5 升浓度为 $48\%$ 的酸溶液。罐 C 中有 1 升浓度为 $k\%$ 的酸溶液。从罐 C 中取 $\frac{m}{n}$ 升溶液加入罐 A，罐 C 中剩下的溶液全部加入罐 B。最后罐 A 和罐 B 中的溶液浓度都是 $50\%$ 。已知 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数，求 $k + m + n$ 。

习题 19.2.18（补充题）

AIME

为了完成一项大工程，雇用了 $1000$ 名工人，人数恰好能按期完成。在完成前四分之一的工作期间，所有工人都在岗，所以前四分之一按期完成。然后裁掉了 $100$ 名工人，所以第二个四分之一的工作比计划落后了。接着又裁掉了 $100$ 名工人，所以第三个四分之一的工作落后得更多。已知所有工人的工作效率相同，在完成四分之三的工作后，除了第三个四分之一结束时仍在岗的 $800$ 名工人之外，至少还要再雇用多少名工人，才能使整个工程按期或提前完成？

习题 19.2.19（补充题）

AIME

一组文员被分派去整理 $1775$ 份文件。每名文员都以每小时 $30$ 份文件的恒定效率整理。第一个小时结束时，有一些文员被调去做别的工作；第二个小时结束时，剩下的文员中又有同样数量的人被调走；第三个小时结束时也同样调走这么多人。这组文员用 $3$ 小时 $10$ 分钟完成了整理。求整理开始后的前一个半小时内整理的文件数。

习题 19.2.20（补充题）

AIME

已知实数 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 满足：

x = \sqrt{y^2 - \frac{1}{16}} + \sqrt{z^2 - \frac{1}{16}},

y = \sqrt{z^2 - \frac{1}{25}} + \sqrt{x^2 - \frac{1}{25}},

z = \sqrt{x^2 - \frac{1}{36}} + \sqrt{y^2 - \frac{1}{36}},

且 $x + y + z = \frac{m}{\sqrt{n}}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是正整数， $n$ 不能被任何质数的平方整除。求 $m + n$ 。

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