代数 · 第 19 章

方程组

给未知数起名字，把每个条件写成一个方程，再把方程组合起来：用竞赛的方法解方程组、浓度混合问题和工作效率问题。

这一章讲什么？

19.0 列方程组
19.1 工作与效率
19.2 练习题

你需要先会

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19.00%

列方程组

在本节中，你将能够 给应用题中的未知数起名字，把每个条件写成一个方程，再用消元法或代入法解方程组。

A 队赢了它所打比赛的 2/3，B 队赢了 5/8。B 队比 A 队多赢 7 场，也多输 7 场。两个未知数，两个条件：这就是一个方程组。

本章的每道题都用同样的三步。起名：用字母表示未知数。翻译：把题目里的每句话写成一个方程。组合：把方程组合起来，直到只剩一个未知数。

两个未知数的两个方程就是两条直线；答案就是它们的交点。组合方程有两种办法：消元（把整个方程相加或相减，消掉一个字母）或代入（从一个方程解出一个字母，再代入另一个方程）。

注意：你常常不需要求出每个未知数。先看清题目要什么，再直奔目标。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 先给未知数起名字：例 19.1 藏着哪两个数？这里 a 表示 A 队的比赛场数，b 表示 B 队的比赛场数。
试一试： 每条直线代表一个条件：胜场或负场。先大致猜一猜它们在哪里相交。然后做下面的例 19.1，再打开“显示交点”核对。
试一试： 拖动一个系数，直到两条直线平行。现在有几个解？如果两条直线重合呢？

看例题先预测，再揭晓

例 19.1

AMC 10

$A$ 、 $B$ 两队在一个篮球联赛中比赛，每场比赛都是一队胜、另一队负。 $A$ 队赢了它所打比赛的 $\frac{2}{3}$ ， $B$ 队赢了它所打比赛的 $\frac{5}{8}$ 。另外， $B$ 队比 $A$ 队多赢了 $7$ 场，也多输了 $7$ 场。 $A$ 队一共打了多少场比赛？

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先给未知数起名字。设 $A$ 队打了 $a$ 场， $B$ 队打了 $b$ 场。 $A$ 队赢了多少场，输了多少场？

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自己做

习题 19.2.1

AMC 10

一个面向高二和高三学生的课后项目中有一支辩论队，辩论队里两个年级的学生人数相等。项目中共有 $28$ 名学生，其中 $25\%$ 的高二学生和 $10\%$ 的高三学生在辩论队里。项目中有多少名高二学生？

习题 19.2.2

AMC 10

Joe 收藏了 $23$ 枚硬币，由 $5$ 美分硬币、 $10$ 美分硬币和 $25$ 美分硬币组成。他的 $10$ 美分硬币比 $5$ 美分硬币多 $3$ 枚，全部硬币的总面值是 $320$ 美分。Joe 的 $25$ 美分硬币比 $5$ 美分硬币多几枚？

习题 19.2.4

AMC 10

Pablo、Sofia 和 Mia 在一个聚会上得到了一些糖蛋。Pablo 的糖蛋是 Sofia 的三倍，Sofia 的糖蛋是 Mia 的两倍。Pablo 决定把自己的一些糖蛋分给 Sofia 和 Mia，使三人的糖蛋一样多。Pablo 应该把他的糖蛋的几分之几给 Sofia？

竞赛角真实竞赛题

习题 19.2.3

AMC 10

两个自然数的和是 $17{,}402$ 。其中一个数能被 $10$ 整除。如果把这个数的个位数字擦掉，就得到另一个数。这两个数的差是多少？

习题 19.2.5

AMC 10/12

在一次数学竞赛中，有 $57$ 名学生穿蓝色衬衫，另有 $75$ 名学生穿黄色衬衫。这 $132$ 名学生被分成 $66$ 对。恰好有 $23$ 对中两名学生都穿蓝色衬衫。有多少对中两名学生都穿黄色衬衫？

习题 19.2.6

AMC 10/12

一名学生把数 $66$ 乘以循环小数

1.\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{a}\,\underline{b}\cdots = 1.\overline{\underline{a}\,\underline{b}},

其中 $a$ 和 $b$ 是数字。他没有注意到循环节记号，直接把 $66$ 乘以 $1.\underline{a}\,\underline{b}$ 。后来他发现自己的答案比正确答案小 $0.5$ 。 $2$ 位整数 $\underline{a}\,\underline{b}$ 是多少？

习题 19.2.8（补充题）

AMC 10

Ana 和 Bonita 出生在不同年份的同一天，相差 $n$ 岁。去年 Ana 的年龄是 Bonita 的 $5$ 倍。今年 Ana 的年龄是 Bonita 年龄的平方。 $n$ 是多少？

习题 19.2.11（补充题）

AMC 10

在美国，硬币的厚度如下：1 美分硬币 $1.55$ mm；5 美分硬币 $1.95$ mm；10 美分硬币 $1.35$ mm；25 美分硬币 $1.75$ mm。如果一摞这样的硬币恰好高 $14$ mm，这摞硬币有多少枚？

习题 19.2.14（补充题）

AMC 12

Kristin 所在州的州所得税这样征收：年收入的前 $\$28000$ 按 $p\%$ 征税，超过 $\$28000$ 的部分按 $(p + 2)\%$ 征税。Kristin 注意到，她缴纳的州所得税相当于她年收入的 $(p + 0.25)\%$ 。她的年收入是多少？

过关检测（第 19.0 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

习题 19.2.2 中 Joe 的三个硬币条件画成了三架天平（ $n$ 枚 5 美分硬币， $d$ 枚 10 美分硬币， $q$ 枚 25 美分硬币）。找出让三架天平同时平衡的值。Joe 有多少枚 10 美分硬币？

数 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 满足 $2x + y + z = 36$ ， $x + 2y + z = 40$ ， $x + y + 2z = 32$ 。 $x + y + z$ 是多少？

某一年 Megapolis 医院的多胞胎统计如下：双胞胎、三胞胎和四胞胎共占出生婴儿中的 $1000$ 个。三胞胎的组数是四胞胎组数的四倍，双胞胎的组数是三胞胎组数的三倍。这 $1000$ 个婴儿中有多少个属于四胞胎？

19.10%

工作与效率

在本节中，你将能够 运用工作量 = 效率 × 时间，几个人合作时把效率相加，团队变化时把工作分成几个阶段。

Abe 先一个人刷墙，然后 Bea 加入，接着 Coe 也加入。房间什么时候刷完？效率可以相加，时间不行。

效率是单位时间内完成的工作量。如果你 $a$ 小时完成一项工作，你的效率就是每小时 $\frac{1}{a}$ 项工作。几个人一起工作时，他们的效率相加。

如果团队中途发生变化，就把工作分成几个阶段。每个阶段的效率不变，所以工作量 = 效率 × 时间可以逐段使用。

注意：遇到工厂问题时，用“人·小时”来衡量工作量本身：60 名工人干 2 小时就是 120 人·小时。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 打开两个水龙头。先用 ab/(a + b) 预测注满所需的时间，再按“什么时候满？”比较。
试一试： 每个水龙头的效率是每小时 1/a 缸或 1/b 缸。打开“显示公式”：为什么要把效率相加，而不是把时间相加？
试一试： 把水龙头 b 改成 12 小时。两个一起开，比只开水龙头 a 更快还是更慢？为什么一定更快？

认识概念

定理 19.1.1 · 工作量、效率与时间

\text{工作量} = \text{效率} \times \text{时间}

等价地，

\text{效率} = \frac{\text{工作量}}{\text{时间}}, \qquad \text{时间} = \frac{\text{工作量}}{\text{效率}}.

定理 19.1.2 · 合作完成

如果一个人完成某件事需要 $a$ 单位的时间，另一个人完成同一件事需要 $b$ 单位的时间，那么两人合作完成需要

\frac{ab}{a+b}

单位的时间。

看例题先预测，再揭晓

例 19.2

AIME

Abe 刷完这个房间需要 $15$ 小时，Bea 刷墙比 Abe 快 $50$ %，Coe 刷墙的速度是 Abe 的两倍。Abe 先开始刷，前一个半小时一个人干。然后 Bea 加入，两人一起刷，直到房间刷完一半。接着 Coe 也加入，三人一起刷，直到整个房间刷完。从 Abe 开始刷算起，三人刷完这个房间共用了多少分钟？

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以“房间/小时”为单位。Abe 每小时刷 $\frac{1}{15}$ 个房间。Bea 和 Coe 的效率各是多少？

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例 19.3

AIME

一家工厂的工人生产小部件和小玩意。对每种产品，生产时间是固定的，并且对所有工人都相同，但两种产品的生产时间不一定相等。 $100$ 名工人在一小时内可以生产 $300$ 个小部件和 $200$ 个小玩意。 $60$ 名工人在两小时内可以生产 $240$ 个小部件和 $300$ 个小玩意。 $50$ 名工人在三小时内可以生产 $150$ 个小部件和 $m$ 个小玩意。求 $m$ 。

1
用“人·小时”来衡量工作量。设生产一个小部件需要 $w$ 人·小时，生产一个小玩意需要 $h$ 人·小时。第一个条件给出多少人·小时？

先预测一下：
你的预测

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竞赛角真实竞赛题

习题 19.2.15（补充题）

AMC 10/12

油漆工 Paula 和她的两名助手各自以恒定但不同的效率刷漆。他们总是在上午 8:00 开工，三人每天吃午饭的时间总是相同的。星期一，三人刷完了一栋房子的 $50\%$ ，在下午 4:00 收工。星期二，Paula 不在，两名助手只刷了这栋房子的 $24\%$ ，在下午 2:12 收工。星期三，Paula 一个人干，一直干到晚上 7:12 才把房子刷完。每天的午休是多少分钟？

习题 19.2.18（补充题）

AIME

为了完成一项大工程，雇用了 $1000$ 名工人，人数恰好能按期完成。在完成前四分之一的工作期间，所有工人都在岗，所以前四分之一按期完成。然后裁掉了 $100$ 名工人，所以第二个四分之一的工作比计划落后了。接着又裁掉了 $100$ 名工人，所以第三个四分之一的工作落后得更多。已知所有工人的工作效率相同，在完成四分之三的工作后，除了第三个四分之一结束时仍在岗的 $800$ 名工人之外，至少还要再雇用多少名工人，才能使整个工程按期或提前完成？

习题 19.2.19（补充题）

AIME

一组文员被分派去整理 $1775$ 份文件。每名文员都以每小时 $30$ 份文件的恒定效率整理。第一个小时结束时，有一些文员被调去做别的工作；第二个小时结束时，剩下的文员中又有同样数量的人被调走；第三个小时结束时也同样调走这么多人。这组文员用 $3$ 小时 $10$ 分钟完成了整理。求整理开始后的前一个半小时内整理的文件数。

过关检测（第 19.1 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

19.2

练习题

在本节中，你将能够 在更难的竞赛题中综合运用方程组、浓度混合、不变量和工作效率。

现在把所有内容混在一起：平均数、弹珠、换硬币机、酸溶液罐子，还有一个藏着三角形的方程组。每一次，都先给未知数起名字。

想在一页上看到本章的所有题目？打开习题集。

竞赛角真实竞赛题

习题 19.2.7

AMC 10B/12B

这道题在书中还以 15.1.3 的编号出现。

设 $S$ 是一个由正整数组成的有限集合。如果从 $S$ 中去掉最大的整数，那么 $S$ 中剩下的整数的平均值（算术平均数）是 $32$ 。如果再从 $S$ 中去掉最小的整数，剩下的整数的平均值是 $35$ 。如果接着把最大的整数放回集合，这些整数的平均值升到 $40$ 。原集合 $S$ 中最大的整数比 $S$ 中最小的整数大 $72$ 。集合 $S$ 中所有整数的平均值是多少？

习题 19.2.9（补充题）

AMC 10

习题 19.2.10（补充题）

AMC 10

两个罐子里的弹珠数相同，每颗弹珠不是蓝色就是绿色。罐 $1$ 中蓝色与绿色弹珠的比是 $9:1$ ，罐 $2$ 中蓝色与绿色弹珠的比是 $8:1$ 。绿色弹珠一共有 $95$ 颗。罐 $1$ 中的蓝色弹珠比罐 $2$ 中的多几颗？

习题 19.2.12（补充题）

AMC 10

Boris 有一台神奇的换硬币机。投入一枚 25 美分硬币，它吐出五枚 5 美分硬币；投入一枚 5 美分硬币，它吐出五枚 1 美分硬币；投入一枚 1 美分硬币，它吐出五枚 25 美分硬币。Boris 开始时只有一枚 1 美分硬币。反复使用这台机器后，Boris 可能拥有下面哪个金额？

习题 19.2.13（补充题）

AMC 10

一天早上，Angela 家的每个人都喝了一杯 $8$ 盎司的牛奶咖啡。每杯中咖啡和牛奶的量各不相同，但都不为零。Angela 喝掉了牛奶总量的四分之一和咖啡总量的六分之一。这个家庭有几个人？

习题 19.2.16（补充题）

AMC 12

$12$ 个海盗约定按如下方式分一箱金币。第 $k$ 个取金币的海盗拿走箱中剩余金币的 $\frac{k}{12}$ 。箱中最初的金币数是使每个海盗都能分到正整数枚金币的最小数。第 $12$ 个海盗分到多少枚金币？

习题 19.2.17（补充题）

AIME

罐 A 中有 4 升浓度为 $45\%$ 的酸溶液。罐 B 中有 5 升浓度为 $48\%$ 的酸溶液。罐 C 中有 1 升浓度为 $k\%$ 的酸溶液。从罐 C 中取 $\frac{m}{n}$ 升溶液加入罐 A，罐 C 中剩下的溶液全部加入罐 B。最后罐 A 和罐 B 中的溶液浓度都是 $50\%$ 。已知 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数，求 $k + m + n$ 。

习题 19.2.20（补充题）

AIME

已知实数 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 满足：

x = \sqrt{y^2 - \frac{1}{16}} + \sqrt{z^2 - \frac{1}{16}},

y = \sqrt{z^2 - \frac{1}{25}} + \sqrt{x^2 - \frac{1}{25}},

z = \sqrt{x^2 - \frac{1}{36}} + \sqrt{y^2 - \frac{1}{36}},

且 $x + y + z = \frac{m}{\sqrt{n}}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是正整数， $n$ 不能被任何质数的平方整除。求 $m + n$ 。