18. 平均数、中位数、众数：习题集

习题 18.1.1

AMC 10

一个班有 $k > 12$ 名学生，他们的测验成绩的平均数是 $8$ 。其中某 $12$ 个测验成绩的平均数是 $14$ 。用 $k$ 表示，其余测验成绩的平均数是多少？

习题 18.1.2

AMC 10

这道题在书中还以 15.1.3 的编号出现。

设 $S$ 是一个由正整数组成的有限集合。如果把 $S$ 中最大的整数从 $S$ 中去掉，剩下整数的平均值（算术平均数）是 $32$ 。如果再去掉 $S$ 中最小的整数，剩下整数的平均值是 $35$ 。如果接着把最大的整数放回集合，整数的平均值上升到 $40$ 。原集合 $S$ 中最大的整数比 $S$ 中最小的整数大 $72$ 。集合 $S$ 中所有整数的平均值是多少？

习题 18.1.3

AMC 10/12

Blackwell 老师给两个班进行了一次考试。上午班学生成绩的平均数是 $84$ ，下午班的平均成绩是 $70$ 。上午班人数与下午班人数之比是 $\frac{3}{4}$ 。全体学生成绩的平均数是多少？

习题 18.1.4

AMC 10/12

在下面这列数中，对于 $1 \le n \le 200$ ，整数 $n$ 恰好出现 $n$ 次。

1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, \ldots, 200, 200, \ldots, 200

这列数的中位数是多少？

习题 18.1.5

AMC 12

上一学年，Yolanda 和 Zelda 选修了不同的课程，在两个学期中各自参加的测验次数不一定相同。Yolanda 第一学期所有测验的平均分比 Zelda 第一学期所有测验的平均分高 $3$ 分。Yolanda 第二学期所有测验的平均分比她自己第一学期的平均分高 $18$ 分，并且又比 Zelda 第二学期所有测验的平均分高 $3$ 分。下列哪一个说法不可能成立？

习题 18.1.6（补充题）

AMC 10

$3, 5, 7, a,$ 和 $b$ 这几个数的平均值（算术平均数）是 $15$ 。 $a$ 和 $b$ 的平均值是多少？

习题 18.1.7（补充题）

AMC 10

$7$ 个数据 $60, 100, x, 40, 50, 200, 90$ 的平均数、中位数和众数都等于 $x$ 。 $x$ 的值是多少？

习题 18.1.8（补充题）

AMC 12

Euclid 市的每所高中都派了一支 $3$ 人队伍参加一场数学竞赛。每位参赛者的分数都互不相同。Andrea 的分数是所有学生的中位数，并且是她队里最高的。Andrea 的队友 Beth 和 Carla 分别排在第 $37$ 名和第 $64$ 名。这个市有多少所学校？

习题 18.1.9（补充题）

AMC 10

下面这列 $4040$ 个数的中位数是多少？

1, 2, 3, \ldots, 2020, 1^2, 2^2, 3^2, \ldots, 2020^2

习题 18.1.10（补充题）

AMC 10

一列 $2018$ 个正整数有唯一众数，这个众数恰好出现 $10$ 次。这列数中至少有多少个不同的值？

习题 18.1.11（补充题）

AMC 10

Melanie 计算 $2019$ 年各月日期这 $365$ 个数据的平均数 $\mu$ 、中位数 $M$ 和众数。也就是说，她的数据由 $12$ 个 $1$ 、 $12$ 个 $2$ 、 $\ldots$ 、 $12$ 个 $28$ 、 $11$ 个 $29$ 、 $11$ 个 $30$ 和 $7$ 个 $31$ 组成。设 $d$ 是这些众数的中位数。下列哪个说法是正确的？

习题 18.1.12（补充题）

AIME

设 $S$ 是一列正整数（不一定互不相同），其中出现了数 $68$ 。 $S$ 中各数的平均值（算术平均数）是 $56$ 。但如果去掉 $68$ ，其余各数的平均值就降到 $55$ 。 $S$ 中可能出现的最大的数是多少？

习题 18.1.13（补充题）

AMC 10

两个不同的正整数 $x$ 和 $y$ 的算术平均数是一个两位整数。把这个算术平均数的两个数字颠倒过来，就得到 $x$ 和 $y$ 的几何平均数。 $|x - y|$ 是多少？

习题 18.1.14（补充题）

AIME挑战

给定一个由 $121$ 个整数组成的样本，每个数都在 $1$ 到 $1000$ 之间（含两端），允许重复。这个样本有唯一众数（出现次数最多的值）。设 $D$ 是众数与样本算术平均数之差。 $\lfloor D \rfloor$ 的最大可能值是多少？（对于实数 $x$ ， $\lfloor x \rfloor$ 表示不超过 $x$ 的最大整数。）

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