代数 · 第 18 章

平均数、中位数、众数

描述一组数“中间”的三种方式：平均数是平衡点，中位数站在正中间，众数是出现最多的那个。接着认识几何平均数、调和平均数和平方平均数，看看它们怎样排出大小。

这一章讲什么？

18.0a 平均数、中位数和众数
18.0b 其他平均数
18.1 练习题

你需要先会

在 YouTube 上打开

18.0a0%

平均数、中位数和众数

在本节中，你将能够 求出平均数、中位数和众数，把平均数转化为总和，并把中位数问题拆成几种情况。

往一个集合里添上数 1，它的平均数就下降 13；改为添上 2001，平均数就上升 27。这个集合里有几个数？它们的平均数是多少？

平均数是一个平衡点：在每个数的位置放一个砝码，跷跷板正好在平均数处平衡。中位数是排好序后正中间的数。众数是出现次数最多的数。

要点：平均数其实是伪装起来的总和。总和 $=$ 平均数 $\times$ 个数。大多数关于平均数的竞赛题，只要写出总和就变简单了。

中位数不一样。它只关心顺序，所以中位数问题通常要分情况讨论：未知数落在排好序的数列的哪个位置？

动手探索先玩，再学公式

试一试： 把 x 从 −10 拖到 20。中位数先停在 6，然后跟着 x 走，最后停在 8。为什么分成这三个阶段？
试一试： x 每移动 1，平均数就移动 1/5。中位数和平均数在哪里相等？留意绿色的标记。
试一试： 把 x 一直推到 −10，再推到 20。哪个统计量几乎不动，哪个被拖着走？

认识概念

定义 18.0.1 · 平均数

\text{平均数} = \text{所有项的平均值} = \frac{\text{所有项的和}}{\text{项数}}

反过来写： $\text{总和} = \text{平均数} \times \text{项数}$ 。大多数平均数问题其实都是总和问题。

定义 18.0.2 · 中位数

把这些数按从小到大（或从大到小）的顺序排好后：

如果项数是奇数，中位数就是正中间的那个数。
如果项数是偶数，中位数就是中间两个数的平均数。

定义 18.0.3 · 众数

\text{众数} = \text{出现次数最多的项}

看例题先预测，再揭晓

例 18.1

AIME

一个由互不相同的实数组成的有限集合 $\mathcal{S}$ 具有以下性质： $\mathcal{S} \cup \{1\}$ 的平均数比 $\mathcal{S}$ 的平均数小 $13$ ， $\mathcal{S} \cup \{2001\}$ 的平均数比 $\mathcal{S}$ 的平均数大 $27$ 。求 $\mathcal{S}$ 的平均数。

1
先在跷跷板上热身：一组 $4$ 个数，平均数是 $10$ ，再加入一个新数 $0$ 。新的平均数是多少？

先预测一下：
你的预测

在 YouTube 上打开

例 18.2

AMC 10

所有满足下列条件的实数 $x$ 之和是多少： $4, 6, 8, 17,$ 和 $x$ 这五个数的中位数等于这五个数的平均数？

1
用 $x$ 表示，这五个数的平均数是多少？

先预测一下：
你的预测

在 YouTube 上打开

例 18.3

AMC 10

把数列

10, 2, 5, 2, 4, 2, x

的平均数、中位数和众数按从小到大的顺序排列，它们构成一个非常数的等差数列。 $x$ 所有可能的实数值之和是多少？

1
不管 $x$ 是多少，众数是多少？

先预测一下：
你的预测

在 YouTube 上打开

自己做

习题 18.1.6（补充题）

AMC 10

$3, 5, 7, a,$ 和 $b$ 这几个数的平均值（算术平均数）是 $15$ 。 $a$ 和 $b$ 的平均值是多少？

习题 18.1.3

AMC 10/12

Blackwell 老师给两个班进行了一次考试。上午班学生成绩的平均数是 $84$ ，下午班的平均成绩是 $70$ 。上午班人数与下午班人数之比是 $\frac{3}{4}$ 。全体学生成绩的平均数是多少？

习题 18.1.7（补充题）

AMC 10

$7$ 个数据 $60, 100, x, 40, 50, 200, 90$ 的平均数、中位数和众数都等于 $x$ 。 $x$ 的值是多少？

竞赛角真实竞赛题

习题 18.1.1

AMC 10

一个班有 $k > 12$ 名学生，他们的测验成绩的平均数是 $8$ 。其中某 $12$ 个测验成绩的平均数是 $14$ 。用 $k$ 表示，其余测验成绩的平均数是多少？

习题 18.1.4

AMC 10/12

在下面这列数中，对于 $1 \le n \le 200$ ，整数 $n$ 恰好出现 $n$ 次。

1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, \ldots, 200, 200, \ldots, 200

这列数的中位数是多少？

习题 18.1.5

AMC 12

上一学年，Yolanda 和 Zelda 选修了不同的课程，在两个学期中各自参加的测验次数不一定相同。Yolanda 第一学期所有测验的平均分比 Zelda 第一学期所有测验的平均分高 $3$ 分。Yolanda 第二学期所有测验的平均分比她自己第一学期的平均分高 $18$ 分，并且又比 Zelda 第二学期所有测验的平均分高 $3$ 分。下列哪一个说法不可能成立？

习题 18.1.8（补充题）

AMC 12

Euclid 市的每所高中都派了一支 $3$ 人队伍参加一场数学竞赛。每位参赛者的分数都互不相同。Andrea 的分数是所有学生的中位数，并且是她队里最高的。Andrea 的队友 Beth 和 Carla 分别排在第 $37$ 名和第 $64$ 名。这个市有多少所学校？

习题 18.1.9（补充题）

AMC 10

下面这列 $4040$ 个数的中位数是多少？

1, 2, 3, \ldots, 2020, 1^2, 2^2, 3^2, \ldots, 2020^2

习题 18.1.11（补充题）

AMC 10

Melanie 计算 $2019$ 年各月日期这 $365$ 个数据的平均数 $\mu$ 、中位数 $M$ 和众数。也就是说，她的数据由 $12$ 个 $1$ 、 $12$ 个 $2$ 、 $\ldots$ 、 $12$ 个 $28$ 、 $11$ 个 $29$ 、 $11$ 个 $30$ 和 $7$ 个 $31$ 组成。设 $d$ 是这些众数的中位数。下列哪个说法是正确的？

过关检测（第 18.0a 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

18.0b0%

其他平均数

在本节中，你将能够 计算几何平均数、调和平均数和平方平均数，并看清为什么 QM ≥ AM ≥ GM ≥ HM。

两个数的算术平均数是一个两位整数。把它的两个数字颠倒过来，就得到这两个数的几何平均数。这两个数相差多少？

普通的平均数是先相加。几何平均数是先相乘，再开方。调和平均数是对倒数求平均。平方平均数是对平方求平均。

看这个半圆：半径是算术平均数 $\frac{a+b}{2}$ ，分点处的半弦是几何平均数 $\sqrt{ab}$ 。半弦永远不会比半径长，所以 $\text{AM} \ge \text{GM}$ 。只有当分点恰好在圆心，也就是 $a = b$ 时，两者才相等。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 把分点 P 慢慢拖到直径的中点。四根长条会发生什么变化？
试一试： 哪个平均数总是最小？哪个总是最大？试试 a = 1，b = 20。
试一试： 令 a = 4，b = 9。用公式核对这些长条：AM = 6.5，GM = √36 = 6。

认识概念

定义 18.0.5 · 几何平均数

正数 $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$ 的几何平均数是

\sqrt[n]{a_1 \times a_2 \times a_3 \times \cdots \times a_n}

定义 18.0.6 · 调和平均数

正数 $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$ 的调和平均数是

\frac{1}{\dfrac{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n}}{n}} = \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n}}

用一句话说：倒数的平均数的倒数。

定义 18.0.7 · 平方平均数

$a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$ 的平方平均数（均方根）是

\sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + \cdots + a_n^2}{n}}

对于正数， $\text{QM} \ge \text{AM} \ge \text{GM} \ge \text{HM}$ ，当且仅当所有数都相等时取等号（第 40 章会证明它）。

竞赛角真实竞赛题

习题 18.1.13（补充题）

AMC 10

两个不同的正整数 $x$ 和 $y$ 的算术平均数是一个两位整数。把这个算术平均数的两个数字颠倒过来，就得到 $x$ 和 $y$ 的几何平均数。 $|x - y|$ 是多少？

过关检测（第 18.0b 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

18.1

练习题

在本节中，你将能够 在更难的竞赛题中综合运用总和、中位数和众数。

四道更难的题：两道是总和谜题，两道问众数最多能被推到多远。当题目说“最大”或“最小”时，就构造极端的数列。

想在一页上看到本章的所有题目？打开习题集。

竞赛角真实竞赛题

习题 18.1.2

AMC 10

这道题在书中还以 15.1.3 的编号出现。

设 $S$ 是一个由正整数组成的有限集合。如果把 $S$ 中最大的整数从 $S$ 中去掉，剩下整数的平均值（算术平均数）是 $32$ 。如果再去掉 $S$ 中最小的整数，剩下整数的平均值是 $35$ 。如果接着把最大的整数放回集合，整数的平均值上升到 $40$ 。原集合 $S$ 中最大的整数比 $S$ 中最小的整数大 $72$ 。集合 $S$ 中所有整数的平均值是多少？

习题 18.1.10（补充题）

AMC 10

一列 $2018$ 个正整数有唯一众数，这个众数恰好出现 $10$ 次。这列数中至少有多少个不同的值？

习题 18.1.12（补充题）

AIME

设 $S$ 是一列正整数（不一定互不相同），其中出现了数 $68$ 。 $S$ 中各数的平均值（算术平均数）是 $56$ 。但如果去掉 $68$ ，其余各数的平均值就降到 $55$ 。 $S$ 中可能出现的最大的数是多少？

习题 18.1.14（补充题）

AIME挑战

给定一个由 $121$ 个整数组成的样本，每个数都在 $1$ 到 $1000$ 之间（含两端），允许重复。这个样本有唯一众数（出现次数最多的值）。设 $D$ 是众数与样本算术平均数之差。 $\lfloor D \rfloor$ 的最大可能值是多少？（对于实数 $x$ ， $\lfloor x \rfloor$ 表示不超过 $x$ 的最大整数。）