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Mastering
AMC 10/12

多项式的韦达定理：全部习题

专注模式：本章所有练习题，一道接一道。

已做对 0 / 25

习题 13.2.1

求二次式 2x2−24x+172x^2 - 24x + 17 的两根之和与两根之积。

习题 13.2.2

AMC 12

有两个 aa 的值，使得方程 4x2+ax+8x+9=04x^2 + ax + 8x + 9 = 0 关于 xx 只有一个解。这两个 aa 的值之和是多少？

P(x) = 4x² + 8x + 9；根 −1 + 1.118i, −1 − 1.118i；根之和 −2，根之积 9/4

a4
b8
c9
P(x)=4(x2+2x+94)=4x2+8x+9P(x) = 4(x^{2} + 2x + \frac{9}{4}) = 4x^{2} + 8x + 9
r1,r2=−2±5i2r_1, r_2 = \frac{-2 \pm \sqrt{5}i}{2}
和r1+r2=−ba=−84=−2r_1 + r_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{8}{4} = -2
积r1r2=ca=94=94r_1r_2 = \frac{c}{a} = \frac{9}{4} = \frac{9}{4}
判别式b2−4ac=(8)2−4(4)(9)=−80b^2 - 4ac = (8)^2 - 4(4)(9) = -80没有实根：一对虚根

P(x) = 4x² + 8x + 9; 根 −1 + 1.118i, −1 − 1.118i; 和 −2; 积 9/4; 判别式 −80：没有实根：一对虚根

习题 13.2.3

AMC 10

设 aa 和 bb 是方程 x2−mx+2=0x^2 - mx + 2 = 0 的两根。又设 a+1ba + \frac{1}{b} 和 b+1ab + \frac{1}{a} 是方程 x2−px+q=0x^2 - px + q = 0 的两根。qq 是多少？

习题 13.2.4

AMC 10/12

长方体 P\mathcal{P} 的三条棱长 aa、bb、cc 互不相同。P\mathcal{P} 的全部 1212 条棱的长度之和是 1313，P\mathcal{P} 的全部 66 个面的面积之和是 112\frac{11}{2}，P\mathcal{P} 的体积是 12\frac{1}{2}。连接 P\mathcal{P} 的两个顶点的最长的内部对角线有多长？

习题 13.2.5

AMC 12

有多少个整数有序对 (a,b)(a, b)，使得多项式 x3+ax2+bx+6x^3 + ax^2 + bx + 6 有 33 个互不相同的整数根？

P(x) = x³ − 4x² + x + 6；根 −1, 2, 3；根之和 4，根之积 −6

次数3
首项系数 a1
r₁r₂r₃
P(x)=(x+1)(x−2)(x−3)=x3−4x2+x+6P(x) = (x + 1)(x - 2)(x - 3) = x^{3} - 4x^{2} + x + 6
r1=−1,  r2=2,  r3=3r_1 = -1,\; r_2 = 2,\; r_3 = 3
和r1+r2+r3=−ba=−−41=4r_1 + r_2 + r_3 = -\frac{b}{a} = -\frac{-4}{1} = 4
2 个根之积的和r1r2+r1r3+r2r3=ca=11=1r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3 = \frac{c}{a} = \frac{1}{1} = 1
积r1r2r3=−da=−61=−6r_1r_2r_3 = -\frac{d}{a} = -\frac{6}{1} = -6

P(x) = x³ − 4x² + x + 6; 根 −1, 2, 3; 和 4; 积 −6

习题 13.2.6

AMC 10

方程 20032004x+1+1x=0\frac{2003}{2004}x + 1 + \frac{1}{x} = 0 的各根的倒数之和是多少？

习题 13.2.7

AMC 10

二次方程 x2+mx+nx^2 + mx + n 的根分别是 x2+px+mx^2 + px + m 的根的 2 倍，并且 mm、nn、pp 都不为零。np\frac{n}{p} 的值是多少？

习题 13.2.8

AMC 10

设函数 ff 满足 f(x3)=x2+x+1f\left(\frac{x}{3}\right) = x^2 + x + 1。求所有满足 f(3z)=7f(3z) = 7 的 zz 的值之和。

习题 13.2.9

AMC 10

所有满足 ∣x2−12x+34∣=2|x^2 - 12x + 34| = 2 的实数 xx 之和是多少？

习题 13.2.10

AMC 10

多项式 x3−ax2+bx−2010x^3 - ax^2 + bx - 2010 有三个正整数根。aa 的最小可能值是多少？

习题 13.2.11

AMC 10

设 aa 和 bb 是非零实数，并且方程 x2+ax+b=0x^2 + ax + b = 0 的解是 aa 和 bb。那么有序对 (a,b)(a, b) 是

点击一个选项，或输入它的字母（A–E）。

习题 13.2.12

AIME

设 x3+3x2+4x−11=0x^3 + 3x^2 + 4x - 11 = 0 的根是 aa、bb、cc，而 x3+rx2+sx+t=0x^3 + rx^2 + sx + t = 0 的根是 a+ba + b、b+cb + c、c+ac + a。求 tt。

习题 13.2.13

AMC 10

对于某些实数 aa、bb、cc，多项式

g(x)=x3+ax2+x+10g(x) = x^3 + ax^2 + x + 10

有三个不同的根，并且 g(x)g(x) 的每个根也都是多项式

f(x)=x4+x3+bx2+100x+cf(x) = x^4 + x^3 + bx^2 + 100x + c

的根。f(1)f(1) 是多少？

习题 13.2.14

AMC 10

设 aa、bb、cc 是三个互不相同的一位数。方程 (x−a)(x−b)+(x−b)(x−c)=0(x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) = 0 的两根之和的最大值是多少？

习题 13.2.15

AMC 10

多项式 z6−10z5+Az4+Bz3+Cz2+Dz+16z^6 - 10z^5 + Az^4 + Bz^3 + Cz^2 + Dz + 16 的所有根都是正整数（可以重复）。BB 的值是多少？

习题 13.2.16

AMC 10/12

这道题在书中还以 13.2.15 的编号出现。

多项式 z6−10z5+Az4+Bz3+Cz2+Dz+16z^6 - 10z^5 + Az^4 + Bz^3 + Cz^2 + Dz + 16 的所有根都是正整数（可以重复）。BB 的值是多少？

习题 13.2.17

AMC 12A

设 aa、bb、cc 是多项式 x3+kx+1x^3 + kx + 1 的根。求和

a3b2+a2b3+b3c2+b2c3+c3a2+c2a3a^3b^2 + a^2b^3 + b^3c^2 + b^2c^3 + c^3a^2 + c^2a^3

是多少？（用 kk 表示答案。）

习题 13.2.18

USAMO挑战

多项式方程 x4−18x3+kx2+200x−1984=0x^4 - 18x^3 + kx^2 + 200x - 1984 = 0 中，有 22 个根之积是 −32-32。求 kk。

习题 13.3.1（补充题）

AMC 10

函数 f(x)=x2−ax+2af(x) = x^2 - ax + 2a 的零点都是整数。aa 的所有可能值之和是多少？

习题 13.3.2（补充题）

AIME

设 rr、ss、tt 是方程

8x3+1001x+2008=08x^3 + 1001x + 2008 = 0

的三个根。求 (r+s)3+(s+t)3+(t+r)3(r + s)^3 + (s + t)^3 + (t + r)^3。

习题 13.3.3（补充题）

AIME

已知方程 x2001+(12−x)2001=0x^{2001} + \left(\frac12 - x\right)^{2001} = 0 没有重根，求它所有根（包括实根和虚根）之和。

习题 13.3.4（补充题）

AHSME

有多少个不同的有序三元组 (x,y,z)(x, y, z) 满足下列方程？

x+2y+4z=12x + 2y + 4z = 12
xy+4yz+2xz=22xy + 4yz + 2xz = 22
xyz=6xyz = 6

习题 13.3.5（补充题）

AIME挑战

考虑多项式 P(x)=x6−x5−x3−x2−xP(x) = x^6 - x^5 - x^3 - x^2 - x 和 Q(x)=x4−x3−x2−1Q(x) = x^4 - x^3 - x^2 - 1。已知 z1z_1、z2z_2、z3z_3、z4z_4 是 Q(x)=0Q(x) = 0 的根，求 P(z1)+P(z2)+P(z3)+P(z4)P(z_1) + P(z_2) + P(z_3) + P(z_4)。

习题 13.3.6（补充题）

AIME挑战

对于整数 aa、bb、cc、dd，设 f(x)=x2+ax+bf(x) = x^2 + ax + b，g(x)=x2+cx+dg(x) = x^2 + cx + d。求满足下述条件的整数有序三元组 (a,b,c)(a, b, c) 的个数：各数的绝对值都不超过 1010，并且存在整数 dd 使得 g(f(2))=g(f(4))=0g(f(2)) = g(f(4)) = 0。

习题 13.3.7（补充题）

AIME挑战

设 P(x)=x2−3x−7P(x) = x^2 - 3x - 7，又设 Q(x)Q(x) 和 R(x)R(x) 是两个二次多项式，它们的 x2x^2 系数也都等于 11。David 算出三个和 P+QP + Q、P+RP + R、Q+RQ + R，惊奇地发现这三个和中每两个都有一个公共根，并且这三个公共根互不相同。如果 Q(0)=2Q(0) = 2，那么 R(0)=mnR(0) = \frac{m}{n}，其中 mm 和 nn 是互质的正整数。求 m+nm + n。