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AMC 10/12
代数 · 第 13 章

多项式的韦达定理

直接从系数读出多项式各根的和与积，不用求出根也能回答关于根的问题。

这一章讲什么？
你需要先会
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13.1a0%

二次方程：求根公式、判别式与韦达定理

在本节中，你将能够 解任意二次方程，判断它有几个实根，并从系数直接读出两根之和与两根之积。

3x2+6x−53x^2 + 6x - 5 的根很难看：−3±263\frac{-3 \pm 2\sqrt{6}}{3}。可它们的立方和却是干净的 −18-18。你不用写出这两个根就能得到它。

每个二次式都可以写成 a(x−r)(x−s)a(x - r)(x - s)。把它展开：ax2−a(r+s)x+arsax^2 - a(r + s)x + ars。所以系数早就知道两根之和 r+sr + s 与两根之积 rsrs。这就是韦达定理。

求根公式能求出根本身。根号下面的部分 b2−4acb^2 - 4ac 能让你在动手之前就知道会得到什么样的根。

注意：

很多题问的是 r2+s2r^2 + s^2、r3+s3r^3 + s^3 或 1r+1s\frac1r + \frac1s。把它们都改写成只含 r+sr + s 和 rsrs 的式子，再代入数值。

动手探索先玩，再学公式

P(x) = x² − 2x − 3；根 −1, 3；根之和 2，根之积 −3

次数2
首项系数 a1
r₁r₂
P(x)=(x+1)(x−3)=x2−2x−3P(x) = (x + 1)(x - 3) = x^{2} - 2x - 3
r1=−1,  r2=3r_1 = -1,\; r_2 = 3
和r1+r2=−ba=−−21=2r_1 + r_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-2}{1} = 2
积r1r2=ca=−31=−3r_1r_2 = \frac{c}{a} = \frac{-3}{1} = -3
判别式b2−4ac=(−2)2−4(1)(−3)=16b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 162 个不同的实根
顶点(h,k)=(1,−4),  P(x)=(x−1)2−4(h, k) = (1, -4),\; P(x) = (x - 1)^2 - 4

P(x) = x² − 2x − 3; 根 −1, 3; 和 2; 积 −3; 判别式 16：2 个不同的实根

认识概念

定理 13.1.1 · 求根公式

二次方程

ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0

的解是

x=−b±b2−4ac2a.x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.

概念 13.1.2 · 判别式

在求根公式中，

b2−4acb^2 - 4ac

（根号里面的部分）叫作这个二次式的判别式。

  1. 如果判别式 b2−4acb^2 - 4ac 等于 00，那么这个二次式有一个重根。
  2. 如果判别式 b2−4acb^2 - 4ac 是正数，那么这个二次式有 2 个不同的实根。
  3. 如果判别式 b2−4acb^2 - 4ac 是负数，那么这个二次式没有实根。

定理 13.1.3 · 二次方程的韦达定理

在二次方程

ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0

中，两根之和是

−ba-\frac{b}{a}

，两根之积是

ca.\frac{c}{a}.

看例题先预测，再揭晓

例 13.1

Omega Learn

设二次式 3x2+6x−53x^2 + 6x - 5 的两根为 rr 和 ss，求 r3+s3r^3 + s^3。

韦达定理：根与系数 (总数在例题最后一步揭晓)

P(x)=3x2+6x−5P(x) = 3x^{2} + 6x - 5
r,s=−3±263r, s = \frac{-3 \pm 2\sqrt{6}}{3}
和r+s=−ba=−63=−2r + s = -\frac{b}{a} = -\frac{6}{3} = -2
积rs=ca=−53=−53rs = \frac{c}{a} = \frac{-5}{3} = -\frac{5}{3}
幂和 S1r+s=−2r + s = -2
幂和 S2r2+s2=?r^{2} + s^{2} = ?
幂和 S3r3+s3=?r^{3} + s^{3} = ?

P(x) = 3x² + 6x − 5; 根 −2.633, 0.633; 和 −2; 积 −5/3; 幂和 −2, ?, ?

  1. 1

    两根是 −3±263\frac{-3 \pm 2\sqrt6}{3}。把它们立方太痛苦了。换个思路：r+sr + s 是多少？

    先预测一下：
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自己做

习题 13.2.1

求二次式 2x2−24x+172x^2 - 24x + 17 的两根之和与两根之积。

习题 13.2.2

AMC 12

有两个 aa 的值，使得方程 4x2+ax+8x+9=04x^2 + ax + 8x + 9 = 0 关于 xx 只有一个解。这两个 aa 的值之和是多少？

P(x) = 4x² + 8x + 9；根 −1 + 1.118i, −1 − 1.118i；根之和 −2，根之积 9/4

a4
b8
c9
P(x)=4(x2+2x+94)=4x2+8x+9P(x) = 4(x^{2} + 2x + \frac{9}{4}) = 4x^{2} + 8x + 9
r1,r2=−2±5i2r_1, r_2 = \frac{-2 \pm \sqrt{5}i}{2}
和r1+r2=−ba=−84=−2r_1 + r_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{8}{4} = -2
积r1r2=ca=94=94r_1r_2 = \frac{c}{a} = \frac{9}{4} = \frac{9}{4}
判别式b2−4ac=(8)2−4(4)(9)=−80b^2 - 4ac = (8)^2 - 4(4)(9) = -80没有实根：一对虚根

P(x) = 4x² + 8x + 9; 根 −1 + 1.118i, −1 − 1.118i; 和 −2; 积 9/4; 判别式 −80：没有实根：一对虚根

习题 13.2.6

AMC 10

方程 20032004x+1+1x=0\frac{2003}{2004}x + 1 + \frac{1}{x} = 0 的各根的倒数之和是多少？

习题 13.2.9

AMC 10

所有满足 ∣x2−12x+34∣=2|x^2 - 12x + 34| = 2 的实数 xx 之和是多少？

竞赛角真实竞赛题

习题 13.2.3

AMC 10

设 aa 和 bb 是方程 x2−mx+2=0x^2 - mx + 2 = 0 的两根。又设 a+1ba + \frac{1}{b} 和 b+1ab + \frac{1}{a} 是方程 x2−px+q=0x^2 - px + q = 0 的两根。qq 是多少？

习题 13.2.7

AMC 10

二次方程 x2+mx+nx^2 + mx + n 的根分别是 x2+px+mx^2 + px + m 的根的 2 倍，并且 mm、nn、pp 都不为零。np\frac{n}{p} 的值是多少？

习题 13.2.8

AMC 10

设函数 ff 满足 f(x3)=x2+x+1f\left(\frac{x}{3}\right) = x^2 + x + 1。求所有满足 f(3z)=7f(3z) = 7 的 zz 的值之和。

习题 13.2.11

AMC 10

设 aa 和 bb 是非零实数，并且方程 x2+ax+b=0x^2 + ax + b = 0 的解是 aa 和 bb。那么有序对 (a,b)(a, b) 是

点击一个选项，或输入它的字母（A–E）。

习题 13.2.14

AMC 10

设 aa、bb、cc 是三个互不相同的一位数。方程 (x−a)(x−b)+(x−b)(x−c)=0(x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) = 0 的两根之和的最大值是多少？

过关检测（第 13.1a 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

5x2−3x−2=05x^2 - 3x - 2 = 0 的两根之和是多少？

2

kk 取什么值时，x2+6x+k=0x^2 + 6x + k = 0 有重根？

3

x2−7x+3=0x^2 - 7x + 3 = 0 的两根是 rr 和 ss。r2+s2r^2 + s^2 是多少？

13.1b0%

高次多项式的韦达定理

在本节中，你将能够 对三次式和四次式运用韦达定理，注意符号正负交替。

三次式有三个根，所以有三个韦达数：和、两两乘积之和、积。三个都藏在系数里。

展开 a(x−r)(x−s)(x−t)a(x - r)(x - s)(x - t)，看各项系数：

  • x2x^2 的系数：−a(r+s+t)-a(r + s + t)
  • xx 的系数：+a(rs+st+tr)+a(rs + st + tr)
  • 常数项：−a⋅rst-a \cdot rst

符号正负交替，因为每个根前面都带着一个负号。

任意次数都是如此：xn−kx^{n-k} 的系数等于 ana_n 乘以所有 kk 个根之积的和，再乘以符号 (−1)k(-1)^k。

注意：

根也满足它自己的方程。如果 r3−6r−5=0r^3 - 6r - 5 = 0，那么 r3=6r+5r^3 = 6r + 5。这样就能把立方变回韦达和。

动手探索先玩，再学公式

P(x) = x³ − 2x² − 5x + 6；根 −2, 1, 3；根之和 2，根之积 −6

次数3
首项系数 a1
rst
P(x)=(x+2)(x−1)(x−3)=x3−2x2−5x+6P(x) = (x + 2)(x - 1)(x - 3) = x^{3} - 2x^{2} - 5x + 6
P(x)=ax3+bx2+cx+d=a(x−r)⋯(x−t)P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d = a(x - r)\cdots(x - t)
r=−2,  s=1,  t=3r = -2,\; s = 1,\; t = 3
和r+s+t=−ba=−−21=2r + s + t = -\frac{b}{a} = -\frac{-2}{1} = 2e1=−a2a3e_{1} = -\frac{a_{2}}{a_{3}}
2 个根之积的和rs+rt+st=ca=−51=−5rs + rt + st = \frac{c}{a} = \frac{-5}{1} = -5e2=a1a3e_{2} = \frac{a_{1}}{a_{3}}
积rst=−da=−61=−6rst = -\frac{d}{a} = -\frac{6}{1} = -6e3=−a0a3e_{3} = -\frac{a_{0}}{a_{3}}

P(x) = x³ − 2x² − 5x + 6; 根 −2, 1, 3; 和 2; 积 −6

认识概念

定理 13.1.4 · 高次多项式的韦达定理

对于多项式方程

anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0=0,a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0,

设它的根为 r1,r2,r3,…,rnr_1, r_2, r_3, \dots, r_n，则有：

r1+r2+r3+⋯+rn=−an−1an（所有根之和）r_1 + r_2 + r_3 + \dots + r_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n} \quad \text{（所有根之和）}
r1r2+r1r3+⋯+rn−1rn=an−2an（所有两根之积的和）r_1r_2 + r_1r_3 + \dots + r_{n-1}r_n = \frac{a_{n-2}}{a_n} \quad \text{（所有两根之积的和）}
r1r2r3+r1r2r4+⋯+rn−2rn−1rn=−an−3an（所有三根之积的和）r_1r_2r_3 + r_1r_2r_4 + \dots + r_{n-2}r_{n-1}r_n = -\frac{a_{n-3}}{a_n} \quad \text{（所有三根之积的和）}
⋮\vdots
r1r2r3⋯rn=(−1)na0an（全部 n 个根之积）r_1r_2r_3\cdots r_n = (-1)^n\frac{a_0}{a_n} \quad \text{（全部 } n \text{ 个根之积）}

符号正负交替：奇数个根之积的和带负号，偶数个根之积的和带正号。

看例题先预测，再揭晓

例 13.2

Omega Learn

设 rr、ss、tt 是三次方程 x3−6x−5=0x^3 - 6x - 5 = 0 的根，求 r3+s3+t3r^3 + s^3 + t^3。

韦达定理：根与系数 (总数在例题最后一步揭晓)

P(x)=x3−6x−5P(x) = x^{3} - 6x - 5
r≈−1.791,  s=−1,  t≈2.791r \approx -1.791,\; s = -1,\; t \approx 2.791
和r+s+t=−ba=−01=0r + s + t = -\frac{b}{a} = -\frac{0}{1} = 0
2 个根之积的和rs+rt+st=ca=−61=−6rs + rt + st = \frac{c}{a} = \frac{-6}{1} = -6
积rst=−da=−−51=5rst = -\frac{d}{a} = -\frac{-5}{1} = 5
幂和 S1r+s+t=0r + s + t = 0
幂和 S2r2+s2+t2=?r^{2} + s^{2} + t^{2} = ?
幂和 S3r3+s3+t3=?r^{3} + s^{3} + t^{3} = ?

P(x) = x³ − 6x − 5; 根 −1.791, −1, 2.791; 和 0; 积 5; 幂和 0, ?, ?

  1. 1

    这里没有 x2x^2 项。r+s+tr + s + t 是多少？

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例 13.3

AMC 12

多项式 p(x)=x3+ax2+bx+cp(x) = x^3 + ax^2 + bx + c 具有如下性质：它的零点的平均数、零点之积、各项系数之和三者相等。y=p(x)y = p(x) 的图像在 yy 轴上的截距是 22。bb 是多少？

韦达定理：根与系数 (总数在例题最后一步揭晓)

P(x)=x3+?x2+?x+2P(x) = x^{3} + \boxed{?}x^{2} + \boxed{?}x + 2
r≈−7.502,  s≈0.206,  t≈1.296r \approx -7.502,\; s \approx 0.206,\; t \approx 1.296
和r+s+t=−ba=−?1=?r + s + t = -\frac{b}{a} = -\frac{?}{1} = ?
2 个根之积的和rs+rt+st=ca=?1=?rs + rt + st = \frac{c}{a} = \frac{?}{1} = ?
积rst=−da=−21=−2rst = -\frac{d}{a} = -\frac{2}{1} = -2
求值P(1)=?P(1) = ?

P(x) = x³ + ?x² + ?x + 2; 根 −7.502, 0.206, 1.296; 和 ?; 积 −2; P(1) = ?

  1. 1

    yy 轴上的截距就是 p(0)p(0)。cc 是多少？

    先预测一下：
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自己做

习题 13.2.10

AMC 10

多项式 x3−ax2+bx−2010x^3 - ax^2 + bx - 2010 有三个正整数根。aa 的最小可能值是多少？

竞赛角真实竞赛题

习题 13.2.4

AMC 10/12

长方体 P\mathcal{P} 的三条棱长 aa、bb、cc 互不相同。P\mathcal{P} 的全部 1212 条棱的长度之和是 1313，P\mathcal{P} 的全部 66 个面的面积之和是 112\frac{11}{2}，P\mathcal{P} 的体积是 12\frac{1}{2}。连接 P\mathcal{P} 的两个顶点的最长的内部对角线有多长？

习题 13.2.5

AMC 12

有多少个整数有序对 (a,b)(a, b)，使得多项式 x3+ax2+bx+6x^3 + ax^2 + bx + 6 有 33 个互不相同的整数根？

P(x) = x³ − 4x² + x + 6；根 −1, 2, 3；根之和 4，根之积 −6

次数3
首项系数 a1
r₁r₂r₃
P(x)=(x+1)(x−2)(x−3)=x3−4x2+x+6P(x) = (x + 1)(x - 2)(x - 3) = x^{3} - 4x^{2} + x + 6
r1=−1,  r2=2,  r3=3r_1 = -1,\; r_2 = 2,\; r_3 = 3
和r1+r2+r3=−ba=−−41=4r_1 + r_2 + r_3 = -\frac{b}{a} = -\frac{-4}{1} = 4
2 个根之积的和r1r2+r1r3+r2r3=ca=11=1r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3 = \frac{c}{a} = \frac{1}{1} = 1
积r1r2r3=−da=−61=−6r_1r_2r_3 = -\frac{d}{a} = -\frac{6}{1} = -6

P(x) = x³ − 4x² + x + 6; 根 −1, 2, 3; 和 4; 积 −6

习题 13.2.12

AIME

设 x3+3x2+4x−11=0x^3 + 3x^2 + 4x - 11 = 0 的根是 aa、bb、cc，而 x3+rx2+sx+t=0x^3 + rx^2 + sx + t = 0 的根是 a+ba + b、b+cb + c、c+ac + a。求 tt。

习题 13.2.13

AMC 10

对于某些实数 aa、bb、cc，多项式

g(x)=x3+ax2+x+10g(x) = x^3 + ax^2 + x + 10

有三个不同的根，并且 g(x)g(x) 的每个根也都是多项式

f(x)=x4+x3+bx2+100x+cf(x) = x^4 + x^3 + bx^2 + 100x + c

的根。f(1)f(1) 是多少？

习题 13.2.15

AMC 10

多项式 z6−10z5+Az4+Bz3+Cz2+Dz+16z^6 - 10z^5 + Az^4 + Bz^3 + Cz^2 + Dz + 16 的所有根都是正整数（可以重复）。BB 的值是多少？

习题 13.2.17

AMC 12A

设 aa、bb、cc 是多项式 x3+kx+1x^3 + kx + 1 的根。求和

a3b2+a2b3+b3c2+b2c3+c3a2+c2a3a^3b^2 + a^2b^3 + b^3c^2 + b^2c^3 + c^3a^2 + c^2a^3

是多少？（用 kk 表示答案。）

过关检测（第 13.1b 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

x3−5x2+2x+7=0x^3 - 5x^2 + 2x + 7 = 0 的根是 rr、ss、tt。rs+st+trrs + st + tr 是多少？

2

仍取 x3−5x2+2x+7=0x^3 - 5x^2 + 2x + 7 = 0 的这三个根，r2+s2+t2r^2 + s^2 + t^2 是多少？

3

2x4−3x3+x−8=02x^4 - 3x^3 + x - 8 = 0 的四个根之积是多少？

13.2

练习题

在本节中，你将能够 在把多项式藏起来的竞赛题中运用韦达定理。

再来两道练习题。一道你已经以另一种形式见过；另一道是 USAMO 题，用韦达定理四行就能解决。

想在一页上看到本章的所有题目？打开习题集。

竞赛角真实竞赛题

习题 13.2.16

AMC 10/12

这道题在书中还以 13.2.15 的编号出现。

多项式 z6−10z5+Az4+Bz3+Cz2+Dz+16z^6 - 10z^5 + Az^4 + Bz^3 + Cz^2 + Dz + 16 的所有根都是正整数（可以重复）。BB 的值是多少？

习题 13.2.18

USAMO挑战

多项式方程 x4−18x3+kx2+200x−1984=0x^4 - 18x^3 + kx^2 + 200x - 1984 = 0 中，有 22 个根之积是 −32-32。求 kk。

13.3

补充习题

在本节中，你将能够 在更难的 AIME 题中把韦达定理与换元、因式分解和多项式除法结合起来。

这些是补充习题。大多来自 AIME：多项式藏起来了，你的第一项任务就是把它找出来。每道题都有三条提示，卡住时可以用。

先问自己：题目真正想要的是哪个对称和？然后找一个多项式，让它的系数给出这个和。

竞赛角真实竞赛题

习题 13.3.1（补充题）

AMC 10

函数 f(x)=x2−ax+2af(x) = x^2 - ax + 2a 的零点都是整数。aa 的所有可能值之和是多少？

习题 13.3.2（补充题）

AIME

设 rr、ss、tt 是方程

8x3+1001x+2008=08x^3 + 1001x + 2008 = 0

的三个根。求 (r+s)3+(s+t)3+(t+r)3(r + s)^3 + (s + t)^3 + (t + r)^3。

习题 13.3.3（补充题）

AIME

已知方程 x2001+(12−x)2001=0x^{2001} + \left(\frac12 - x\right)^{2001} = 0 没有重根，求它所有根（包括实根和虚根）之和。

习题 13.3.4（补充题）

AHSME

有多少个不同的有序三元组 (x,y,z)(x, y, z) 满足下列方程？

x+2y+4z=12x + 2y + 4z = 12
xy+4yz+2xz=22xy + 4yz + 2xz = 22
xyz=6xyz = 6

习题 13.3.5（补充题）

AIME挑战

考虑多项式 P(x)=x6−x5−x3−x2−xP(x) = x^6 - x^5 - x^3 - x^2 - x 和 Q(x)=x4−x3−x2−1Q(x) = x^4 - x^3 - x^2 - 1。已知 z1z_1、z2z_2、z3z_3、z4z_4 是 Q(x)=0Q(x) = 0 的根，求 P(z1)+P(z2)+P(z3)+P(z4)P(z_1) + P(z_2) + P(z_3) + P(z_4)。

习题 13.3.6（补充题）

AIME挑战

对于整数 aa、bb、cc、dd，设 f(x)=x2+ax+bf(x) = x^2 + ax + b，g(x)=x2+cx+dg(x) = x^2 + cx + d。求满足下述条件的整数有序三元组 (a,b,c)(a, b, c) 的个数：各数的绝对值都不超过 1010，并且存在整数 dd 使得 g(f(2))=g(f(4))=0g(f(2)) = g(f(4)) = 0。

习题 13.3.7（补充题）

AIME挑战

设 P(x)=x2−3x−7P(x) = x^2 - 3x - 7，又设 Q(x)Q(x) 和 R(x)R(x) 是两个二次多项式，它们的 x2x^2 系数也都等于 11。David 算出三个和 P+QP + Q、P+RP + R、Q+RQ + R，惊奇地发现这三个和中每两个都有一个公共根，并且这三个公共根互不相同。如果 Q(0)=2Q(0) = 2，那么 R(0)=mnR(0) = \frac{m}{n}，其中 mm 和 nn 是互质的正整数。求 m+nm + n。