概率状态：全部习题

Amelia 有一枚硬币，抛出正面的概率是 $\frac13$；Blaine 有一枚硬币，抛出正面的概率是 $\frac25$。Amelia 和 Blaine 轮流抛各自的硬币，直到有人抛出正面为止；先抛出正面的人获胜。所有抛掷相互独立。Amelia 先抛。Amelia 获胜的概率是 $\frac{p}{q}$，其中 $p$ 和 $q$ 是互质的正整数。$q - p$ 是多少？

Debra 反复抛一枚均匀的硬币，并记录她总共看到了多少次正面和多少次反面，直到连续抛出两次正面或连续抛出两次反面为止，这时她停止抛掷。她以连续两次正面结束、但在看到第二次正面之前先看到了第二次反面的概率是多少？

一只青蛙坐在点 $(1, 2)$ 处，开始一连串跳跃，每次跳跃都平行于某条坐标轴，长度为 $1$，每次跳跃的方向（上、下、右或左）独立随机地选择。当青蛙到达以 $(0, 0)$、$(0, 4)$、$(4, 4)$ 和 $(4, 0)$ 为顶点的正方形的某条边时，跳跃结束。跳跃在正方形的一条竖直边上结束的概率是多少？

池塘里有一排荷叶，编号为 $1, 2, 3, \ldots$。一只青蛙从 $1$ 号荷叶出发，进行一连串跳跃。从任意 $k$ 号荷叶，青蛙跳到 $k + 1$ 号或 $k + 2$ 号荷叶，各以 $\frac12$ 的概率随机选择，且与其他跳跃相互独立。青蛙到过 $7$ 号荷叶的概率是 $\frac{p}{q}$，其中 $p$ 和 $q$ 是互质的正整数。求 $p + q$。

一只青蛙按照以下规则在数轴上跳：

• 它从 $0$ 出发。
• 如果它在 $0$，那么它以 $\frac12$ 的概率移到 $1$，以 $\frac12$ 的概率消失。
• 对于 $n = 1, 2, 3$，如果它在 $n$，那么它以 $\frac14$ 的概率移到 $n + 1$，以 $\frac14$ 的概率移到 $n - 1$，以 $\frac12$ 的概率消失。

青蛙到达 $4$ 的概率是多少？

一个小池塘里有一排 11 片荷叶，编号为 $0$ 到 $10$。一只青蛙坐在 $1$ 号荷叶上。当青蛙在 $N$ 号荷叶上（$0 < N < 10$）时，它以 $\frac{N}{10}$ 的概率跳到 $N - 1$ 号荷叶，以 $1 - \frac{N}{10}$ 的概率跳到 $N + 1$ 号荷叶。每次跳跃都与之前的跳跃相互独立。如果青蛙到达 $0$ 号荷叶，它就会被一条耐心等候的蛇吃掉。如果青蛙到达 $10$ 号荷叶，它就会离开池塘，再也不回来。青蛙没有被蛇吃掉、成功逃脱的概率是多少？

在笛卡儿坐标平面上画一个正方形，顶点为 $(2, 2)$、$(-2, 2)$、$(-2, -2)$、$(2, -2)$。一个粒子从 $(0, 0)$ 出发。每一秒，它等可能地移到离当前位置最近的八个格点（坐标都是整数的点）之一，且与之前的移动相互独立。换句话说，粒子从 $(x, y)$ 移到 $(x, y + 1)$、$(x + 1, y + 1)$、$(x + 1, y)$、$(x + 1, y - 1)$、$(x, y - 1)$、$(x - 1, y - 1)$、$(x - 1, y)$ 或 $(x - 1, y + 1)$ 中每一个的概率都是 $1/8$。粒子最终会第一次碰到正方形，碰到的位置要么是正方形的 $4$ 个角之一，要么是正方形各边内部的 $12$ 个格点之一。它碰到角而不是碰到边的内部格点的概率是 $m/n$，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。$m + n$ 是多少？

青蛙 Freddy 在坐标平面上跳来跳去，寻找一条河，这条河位于水平直线 $y = 24$ 上。在水平直线 $y = 0$ 处有一道篱笆。每次跳跃时，Freddy 随机选择一个平行于某条坐标轴的方向，朝这个方向移动一个单位。当他位于 $y = 0$ 的某点时，他等可能地从三个方向中选一个：要么平行于篱笆跳，要么跳离篱笆；但他绝不会选择会让他越过篱笆、到达 $y < 0$ 的方向。Freddy 从点 $(0, 21)$ 开始寻找，一旦到达河上的某点就停下。求 Freddy 到达河所需跳跃次数的期望值。