6. 组合恒等式：习题集 · Mastering AMC 10/12

习题 6.4.1

一位合唱团指挥要从他的 6 名男高音和 8 名男低音中选出一组歌手。唯一的要求是：男高音人数与男低音人数之差必须是 4 的倍数，并且这组至少要有一名歌手。设 $N$ 是可以选出的不同组的个数。 $N$ 除以 100 的余数是多少？

习题 6.4.2

AMC 12

这道题在书中还以 6.4.1 的编号出现。

一位合唱团指挥要从他的 6 名男高音和 8 名男低音中选出一组歌手。唯一的要求是：男高音人数与男低音人数之差必须是 4 的倍数，并且这组至少要有一名歌手。设 $N$ 是可以选出的组的个数。 $N$ 除以 100 的余数是多少？

习题 6.4.3

AMC 10/12

把编号为 $1, 2, 3, \ldots, 13$ 的 13 张卡片排成一排。任务是按数字从小到大的顺序把它们拿起来，每一遍都从左往右走，重复进行。在下面的例子中，第一遍拿起卡片 1、2、3，第二遍拿起 4 和 5，第三遍拿起 6，第四遍拿起 7、8、9、10，第五遍拿起 11、12、13。在卡片的 $13!$ 种可能的排列中，有多少种排列恰好用两遍就能把 13 张卡片全部拿起？

\boxed{7}\ \boxed{11}\ \boxed{8}\ \boxed{6}\ \boxed{4}\ \boxed{5}\ \boxed{9}\ \boxed{12}\ \boxed{1}\ \boxed{13}\ \boxed{10}\ \boxed{2}\ \boxed{3}

习题 6.4.4（补充题）

AIME挑战

这道题在书中还以 5.10 的编号出现。

有两根可区分的旗杆和 19 面旗，其中 10 面是相同的蓝旗，9 面是相同的绿旗。设 $N$ 是用上全部旗子、并且每根旗杆上至少有一面旗、任一根旗杆上都没有两面绿旗相邻的可区分的排法数。求 $N$ 除以 1000 的余数。（用范德蒙恒等式解这道题。）

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