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Mastering
AMC 10/12

隔板法：全部习题

专注模式：本章所有练习题，一道接一道。

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习题 5.5.1

AMC

Alice 有 24 个苹果。她要和 Becky、Chris 分这些苹果，使三个人每人至少有两个苹果，有多少种分法？

习题 5.5.2

AMC 10

掷 7 枚均匀的标准六面骰子，朝上一面的点数之和为 10 的概率可以写成

n67,\frac{n}{6^7},

其中 nn 是正整数。求 nn。

习题 5.5.3

AMC 10

Pat 要从一个托盘里挑选六块饼干，托盘里只有巧克力豆饼干、燕麦饼干和花生酱饼干三种。每种饼干至少有六块。可以挑出多少种不同的六块饼干组合？

习题 5.5.4

AMC 10

随机选取一个七位正整数。已知它的各位数字之和为 61，求这个数能被 11 整除的概率。

习题 5.5.5

AMC 10挑战

这道题在书中还以 3.3.18 的编号出现。

设 D(n)D(n) 表示把正整数 nn 写成乘积

n=f1⋅f2⋯fkn = f_1 \cdot f_2 \cdots f_k

的方法数，其中 k≥1k \ge 1，每个 fif_i 都是严格大于 1 的整数，并且因数的排列顺序有区别（也就是说，只是因数顺序不同的两种写法算作不同）。例如，数 6 可以写成 66、2⋅32 \cdot 3 和 3⋅23 \cdot 2，所以 D(6)=3D(6) = 3。求 D(96)D(96)。

习题 5.5.6（补充题）

Omega Learn

求 a+b+c+d<19a + b + c + d < 19 的解的个数，其中 a,b,c,da, b, c, d 是正整数，aa 和 cc 必须是奇数，bb 和 dd 必须是偶数。

习题 5.5.7（补充题）

(w+x+y+z)10(w + x + y + z)^{10} 展开并化简后有多少项？

习题 5.5.8（补充题）

AMC 12

把式子

(x+y+z)2006+(x−y−z)2006(x + y + z)^{2006} + (x - y - z)^{2006}

展开并合并同类项进行化简。化简后的式子有多少项？

习题 5.5.9（补充题）

AIME

把一枚均匀的骰子掷四次。后三次中每一次的点数都至少和前一次一样大的概率可以表示成 mn\frac{m}{n}，其中 mm 和 nn 是互质的正整数。求 m+nm + n。

习题 5.5.10（补充题）

AIME

一位园丁把三棵枫树、四棵橡树和五棵桦树种成一排。他按随机顺序种树，每种排列的可能性相同。设既约分数 mn\frac{m}{n} 是没有两棵桦树相邻的概率。求 m+nm + n。

习题 5.5.11（补充题）

8 名学生和 3 名老师坐在前排，要求每两名老师之间至少有 2 名学生，有多少种坐法？

习题 5.5.12（补充题）

AIME

考虑在 8×88 \times 8 网格上从左下角走到右上角、长度为 16 的路径。求恰好改变方向 4 次的这种路径的条数。