5. 隔板法 · Mastering AMC 10/12

5.10%

隔板法基础

在本节中，你将能够 把球和隔板排成一排，数出把相同的物品分给不同盒子的方法数。

你有 8 台相同的电脑要分给 3 个学生。电脑都一样，所以只有每个学生分到多少台才重要。怎样数呢？

把电脑排成一排，再放入 2 块隔板。第一块隔板左边的全部归学生 1，两块隔板之间的归学生 2，剩下的归学生 3。

每一排球和隔板恰好对应一种分法。所以你只需要选出隔板放在哪里。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 移动隔板 1（用按钮或方向键），直到学生 2 一台也没分到。这一排是什么样子？
试一试： 打开“列出所有排法”。数一数格子。个数和 C(6, 2) = 15 一致吗？
试一试： 把电脑数设为 5，学生数设为 2。为什么恰好有 6 种排法？

认识概念

定理 5.1.1 · 隔板法

把 $n$ 个相同的物品放进 $k$ 个可区分的盒子里，方法数是

\binom{n+k-1}{n}.

注 5.1.2

隔板法非常有用，而且常常可以根据情况灵活变通。例如，如果每个盒子里至少要有 1 个物品，就先给每个盒子放 1 个，再对剩下的 $n - k$ 个物品和 $k$ 个可区分的盒子使用公式。

看例题先预测，再揭晓

例 5.1

把 8 台相同的电脑分给 3 个学生，有多少种分法？

1
记住这些电脑是相同的。如果它们全都不同，答案会是多少？

先预测一下：
你的预测

自己做

习题 5.5.7（补充题）

$(w + x + y + z)^{10}$ 展开并化简后有多少项？

竞赛角真实竞赛题

习题 5.5.3

AMC 10

Pat 要从一个托盘里挑选六块饼干，托盘里只有巧克力豆饼干、燕麦饼干和花生酱饼干三种。每种饼干至少有六块。可以挑出多少种不同的六块饼干组合？

过关检测（第 5.1 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

5.20%

带限制条件的隔板法

在本节中，你将能够 把下限、不等式和上限都转化成普通的隔板法来处理。

7 名宇航员被困在太空，只剩 10 份相同的餐食，每个人都必须至少分到 1 份。普通的隔板法允许盒子为空。怎么解决？

先把最少数发下去。每名宇航员都有 1 份之后，剩下的就可以随便分了：这就是普通的隔板法。

还有两招，能让隔板法适用于几乎所有的和。如果和小于某个数，就添加一个辅助变量来补足差额。如果有上限（骰子至多是 6 点），就先全部数出来，再减去超过上限的排法。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 按“先各给 1 个”。还剩多少份餐食可以随意分？
试一试： 多按几次“分配剩下的”。现在还会有宇航员分到 0 份吗？
试一试： 把宇航员改成 5 名。每人先给 1 份后还剩多少份？先预测方法数。

认识概念

概念 5.2.1 · 先给够最少数

隔板法极其有用，而且常常可以根据情况灵活变通。例如，如果每个盒子里至少要有 1 个物品，就先给每个盒子放 1 个，再对 $n - k$ 个物品和 $k$ 个可区分的盒子使用公式：

\binom{(n-k)+k-1}{k-1} = \binom{n-1}{k-1}.

看例题先预测，再揭晓

例 5.2

7 名宇航员被困在太空中，只剩下 10 份相同的餐食。每名宇航员必须至少分到 1 份餐食，否则就会饿死。在这个限制下，分配餐食有多少种方法？

1
怎样处理“每名宇航员至少分到 1 份”这个条件？处理之后还剩几份餐食？

先预测一下：
你的预测

例 5.3

Modified AMC 10

对于某个特定的 $N$ ，把 $(a + b + c + d + 1)^N$ 展开并合并同类项后，所得式子中恰好有 1001 项同时含有全部四个变量 $a, b, c,$ 和 $d$ ，且每个变量的次数都是正数。求 $N$ 。

1
每一项都形如 $a^p b^q c^r d^s \cdot 1^t$ 。 $p + q + r + s + t$ 必须等于多少？

先预测一下：
点击一个选项，或输入它的字母（A–E）。

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例 5.4

掷 5 枚普通的六面骰子，朝上一面的点数之和为 24，有多少种情况？

1
每枚骰子的点数是 1 到 6，所以普通的隔板法顾不到上限 6。怎样仍然用隔板法？要分出多少个“减 1”？

先预测一下：
你的预测

例 5.5

选取正整数 $a, b, c,$ 和 $d$ ，使得 $a + b + c + d < 13$ ，有多少种选法？

1
隔板法需要的是等式，而不是“ $<$ ”。怎样解决？

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竞赛角真实竞赛题

习题 5.5.1

AMC

Alice 有 24 个苹果。她要和 Becky、Chris 分这些苹果，使三个人每人至少有两个苹果，有多少种分法？

习题 5.5.2

AMC 10

掷 7 枚均匀的标准六面骰子，朝上一面的点数之和为 10 的概率可以写成

\frac{n}{6^7},

其中 $n$ 是正整数。求 $n$ 。

习题 5.5.8（补充题）

AMC 12

把式子

(x + y + z)^{2006} + (x - y - z)^{2006}

展开并合并同类项进行化简。化简后的式子有多少项？

习题 5.5.9（补充题）

AIME

把一枚均匀的骰子掷四次。后三次中每一次的点数都至少和前一次一样大的概率可以表示成 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$ 。

过关检测（第 5.2 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

5.30%

隔板法：每个球是一组

在本节中，你将能够 把每个球看作一组，数出每份必须是偶数、奇数或互相配对的分法。

三只松鼠分 19 颗橡子。一只要奇数颗，一只要偶数颗，还有一只要至少 4 颗的偶数颗。如果球是成对出现的呢？

当一份必须是偶数时，就按对来数：把它写成 $2y$ ，然后分配这 $y$ 对。奇数份是 $2x + 1$ ：先发出那 1 个，再按对分。

一组也可以是混合的。把每根香蕉粘到一个苹果上，让它们一起移动。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 每个 ●● 是一对糖果。移动隔板。会有孩子分到奇数颗吗？
试一试： 设为 6 对。把 12 颗糖果分给孩子们，使每个孩子都分到偶数颗，有多少种分法？
试一试： 例 5.7：先给要奇数的松鼠 1 颗橡子，给第三只松鼠 4 颗。19 颗橡子还剩多少对？

看例题先预测，再揭晓

例 5.6

Omega Learn

你有 11 个苹果和 5 根香蕉，要把它们放进 3 个篮子。如果每个篮子里的苹果都必须比香蕉多，并且每个篮子里至少有 1 个水果，有多少种放法？

1
每个篮子里的苹果都要比香蕉多。可以把什么“粘”在一起？

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例 5.7

Omega Learn Math Contest

三只松鼠要在它们之间分 19 颗相同的橡子。

第一只松鼠要求分到正奇数颗橡子。
第二只松鼠分到任意非负偶数颗都可以。
第三只松鼠坚持要分到大于或等于 4 的偶数颗橡子。

它们有多少种不同的分法？

1
用一个可以取任意非负整数的变量写出每只松鼠分到的数量。怎么写？

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自己做

习题 5.5.6（补充题）

Omega Learn

求 $a + b + c + d < 19$ 的解的个数，其中 $a, b, c, d$ 是正整数， $a$ 和 $c$ 必须是奇数， $b$ 和 $d$ 必须是偶数。

过关检测（第 5.3 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

5.40%

用隔板法数排列顺序

在本节中，你将能够 把其他人分进空隙，数出某些人或物不能相邻的排法。

7 个人坐成一排，其中 3 人是对头，拒绝相邻而坐。不要去数座位，而是数对头之间的空隙里有多少人。

先标出对头坐在哪里。其他人填进他们周围的空隙。中间的空隙至少要有 1 个人，两端可以为空。这就是带下限的隔板法。

隔板法数的是模式。然后再乘以模式内部人员的排列方法数。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 对头之间的空隙至少需要 1 个其他人。哪些盒子要先给一个？按下按钮。
试一试： 按“分配剩下的”。从左到右读这一排：对头坐在哪里？
试一试： 这个互动工具只数座位模式。为什么还要乘以 3! 和 4!？

看例题先预测，再揭晓

例 5.8

7 个人坐成一排，其中 3 人是对头，拒绝彼此相邻而坐。有多少种坐法？

1
人的顺序我们最后再排。先看：不考虑条件时，为 3 个对头选出 3 个座位有多少种方法？

先预测一下：
你的预测

例 5.9

AIME

Ed 有五颗相同的绿弹珠，还有大量相同的红弹珠。他把这些绿弹珠和一部分红弹珠排成一排，发现“右边相邻的弹珠与自己同色”的弹珠个数，等于“右边相邻的弹珠与自己异色”的弹珠个数。例如 GGRRRGGRG 就是一种这样的排法。设 $m$ 是能做到这一点的红弹珠的最大个数， $N$ 是他把这 $m + 5$ 颗弹珠排成满足要求的一排的方法数。求 $N$ 除以 $1000$ 的余数。

用于第 3、4 步：红弹珠，以及 5 颗绿弹珠周围的 6 组。

1
右边相邻的弹珠与自己异色的弹珠，至多有多少颗？

先预测一下：
你的预测

例 5.10

AIME

有两根可区分的旗杆，以及 19 面旗，其中 10 面是相同的蓝旗，9 面是相同的绿旗。设 $N$ 是用上全部旗子、每根旗杆上至少有一面旗、并且任一旗杆上都没有两面绿旗相邻的可区分排法数。求 $N$ 除以 $1000$ 的余数。

一个旗子较少的例子：在一根长旗杆上依次是旗杆 1、一面红色分隔旗、旗杆 2。

1
我们用补集计数：先数允许某根旗杆为空的排法，再减去所有旗子都在同一根旗杆上的排法。把全部 19 面旗挂在同一根旗杆上，有多少种方法？

先预测一下：
你的预测

自己做

习题 5.5.11（补充题）

8 名学生和 3 名老师坐在前排，要求每两名老师之间至少有 2 名学生，有多少种坐法？

竞赛角真实竞赛题

习题 5.5.10（补充题）

AIME

一位园丁把三棵枫树、四棵橡树和五棵桦树种成一排。他按随机顺序种树，每种排列的可能性相同。设既约分数 $\frac{m}{n}$ 是没有两棵桦树相邻的概率。求 $m + n$ 。

习题 5.5.12（补充题）

AIME

考虑在 $8 \times 8$ 网格上从左下角走到右上角、长度为 16 的路径。求恰好改变方向 4 次的这种路径的条数。

过关检测（第 5.4 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

5.5

练习题

在本节中，你将能够 在竞赛题中综合运用本章所有的隔板法技巧。

两道更难的竞赛题。一道把隔板法藏在整除问题里，另一道藏在分解方法的计数里。如果卡住了，每道题都有三条提示。

想在一页上看到本章的所有题目吗？打开习题集。

竞赛角真实竞赛题

习题 5.5.4

AMC 10

随机选取一个七位正整数。已知它的各位数字之和为 61，求这个数能被 11 整除的概率。

习题 5.5.5

AMC 10挑战

这道题在书中还以 3.3.18 的编号出现。

设 $D(n)$ 表示把正整数 $n$ 写成乘积

n = f_1 \cdot f_2 \cdots f_k

的方法数，其中 $k \ge 1$ ，每个 $f_i$ 都是严格大于 1 的整数，并且因数的排列顺序有区别（也就是说，只是因数顺序不同的两种写法算作不同）。例如，数 6 可以写成 $6$ 、 $2 \cdot 3$ 和 $3 \cdot 2$ ，所以 $D(6) = 3$ 。求 $D(96)$ 。