容斥原理：全部习题

许多州的标准车牌格式是三个字母后接三个数字。假设每一种“三个字母、三个数字”的排列都是等可能的，这样的车牌至少含有一个回文（即从左往右读和从右往左读都一样的三字母排列或三数字排列）的概率是 $\dfrac{m}{n}$，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$。

要把七块互不相同的糖果分到三个袋子里。红袋子和蓝袋子都必须至少得到一块糖果；白袋子可以是空的。共有多少种分法？

把数列 $1, 2, 3, 4, 5$ 重新排列，使得没有连续三项递增，也没有连续三项递减，有多少种方法？

Ang、Ben 和 Jasmin 每人都有 5 块积木，颜色分别是红、蓝、黄、白、绿；另有 5 个空盒子。每个人都随机地、且与另外两人相互独立地，往每个盒子里放入自己的一块积木。至少有一个盒子收到 3 块同色积木的概率是 $\dfrac{m}{n}$，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。$m + n$ 是多少？

把数列 $1, 2, 3, 4, 5$ 重新排列，使得没有连续三项递增，也没有连续三项递减，有多少种方法？

求至少是 $10^{10}$、$15^7$、$18^{11}$ 中一个数的因数的正整数的个数。

在一场五支球队参加的比赛中，每支球队都与其他每支球队各赛一场。每支球队赢得它所参加的任何一场比赛的概率都是 $50\%$。（没有平局。）设比赛结果中既没有全胜的球队、也没有全败的球队的概率为 $\dfrac{m}{n}$，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的整数。求 $m + n$。

如果不存在 $a, b, c \in S$（不一定互不相同）使得 $ab = c$，就称集合 $S$ 是无积集。例如，空集和集合 $\{16, 20\}$ 是无积集，而集合 $\{4, 16\}$ 和 $\{2, 8, 16\}$ 不是无积集。求集合 $\{1, 2, 3, 4, \ldots, 7, 8, 9, 10\}$ 的无积子集的个数。

定义正 $n$ 角星为 $n$ 条线段 $P_1P_2, P_2P_3, \ldots, P_nP_1$ 的并集，满足

1. 点 $P_1, P_2, \ldots, P_n$ 共面，且其中任意三点不共线，
2. 这 $n$ 条线段中的每一条都与其他线段中的至少一条在端点以外的某点相交，$P_1, P_2, \ldots, P_n$ 处的所有角都相等，
3. 所有 $n$ 条线段 $P_1P_2, P_2P_3, \ldots, P_nP_1$ 都相等，并且路径 $P_1P_2, P_2P_3, \ldots, P_nP_1$ 在每个顶点处都按逆时针方向转一个小于 180 度的角。

不存在正 3 角星、正 4 角星或正 6 角星。所有正 5 角星都相似，但有两种互不相似的正 7 角星。互不相似的正 1000 角星有多少种？

看节目时，Ayako、Billy、Carlos、Dahlia、Ehuang 和 Frank 按这个顺序坐在一排六把椅子上。中场休息时，他们去厨房拿零食。回来后，他们重新坐在这六把椅子上，并且如果两人在休息前相邻而坐，那么休息后他们就不相邻。求他们休息后可能的座次有多少种。