排列与组合：全部习题

1 块棕色瓷砖、1 块紫色瓷砖、2 块绿色瓷砖和 3 块黄色瓷砖从左到右排成一排，可区分的排法有多少种？（同色的瓷砖不可区分。）

一个孩子用形状相同、颜色不同的方块搭塔。用 2 个红色方块、3 个蓝色方块和 4 个绿色方块，他能搭出多少种高为 8 个方块的不同的塔？（会剩下一个方块不用。）

某州的车牌由 4 个数字（不一定互不相同）和 2 个字母（也不一定互不相同）组成。这六个字符可以按任意顺序出现，但两个字母必须相邻。可能的不同车牌有多少种？

一次聚会有 30 个人，其中 20 个人彼此都认识，另外 10 个人谁都不认识。互相认识的人拥抱，互不认识的人握手。这群人之间共握手多少次？

在一次乒乓球比赛中，每位选手都和其他每位选手恰好比赛一次。虽然右手选手的人数是左手选手的两倍，但左手选手赢的场数比右手选手赢的场数多 $40\%$。（没有平局，也没有左右手都能用的选手。）一共进行了多少场比赛？

一个由小方格组成的 $3 \times 3$ 方格中，每个小方格涂成红、白、蓝、绿四色之一，使得每个 $2 \times 2$ 的正方形中四种颜色各有一个。下方右图给出了一种这样的涂法。共有多少种不同的涂法？

Henry's Hamburger Haven 的汉堡可以加以下配料：番茄酱、芥末酱、蛋黄酱、番茄、生菜、酸黄瓜、奶酪和洋葱。顾客可以选一块、两块或三块肉饼，以及任意一组配料。共可以点多少种不同的汉堡？

从 $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ 中不放回地选出 $A, B, C$ 和 $D$ 的值（即任意两个字母的值都不同）。有多少种这样的选法，使得两条曲线 $y = Ax^2 + B$ 和 $y = Cx^2 + D$ 相交？（两条曲线的先后顺序无关紧要；例如，选 $A = 3, B = 2, C = 4, D = 1$ 和选 $A = 4, B = 1, C = 3, D = 2$ 算作同一种。）

一个游戏使用一副 $n$ 张互不相同的牌，其中 $n$ 是整数，且 $n \geq 6$。从这副牌中可能抽出的 6 张牌的组数，是可能抽出的 3 张牌的组数的 6 倍。求 $n$。

把 1 到 14 这些数分成 7 对，使得每一对中较大的数至少是较小的数的 2 倍，共有多少种分法？

由 5 个 A、5 个 B 和 5 个 C 组成的 15 个字母的排列中，前 5 个字母中没有 A、中间 5 个字母中没有 B、最后 5 个字母中没有 C 的有多少种？

12 名宇航员报名参加探索火星的任务。将从地球发射 2 枚不同的火箭：一枚载 3 人，另一枚载 4 人。这 12 名宇航员中有 4 名经验非常丰富，所以他们必须登上其中一枚火箭。把宇航员安排进火箭共有多少种方法？

平面上给定 10 个点，其中任意三点不共线。随机选出连接这些点中某两点的 4 条不同线段，每条这样的线段被选中的可能性相同。其中某三条线段构成一个以给定的十个点中的点为顶点的三角形的概率是 $m/n$，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$。

从集合 $\{1, 2, 3, \ldots, 1000\}$ 中随机且不放回地抽出三个数 $a_1, a_2, a_3$。然后从剩下的 997 个数中随机且不放回地抽出另外三个数 $b_1, b_2, b_3$。设 $p$ 为这样的概率：经过适当的旋转后，尺寸为 $a_1 \times a_2 \times a_3$ 的砖块能放进尺寸为 $b_1 \times b_2 \times b_3$ 的盒子里，且砖块的各边与盒子的各边平行。如果把 $p$ 写成最简分数，分子与分母之和是多少？